Seja A B D C um paralelogramo tal que A \in r_{1}, B \in r_{2}, C=(2,3), \overrightarrow{C D} é múltiplo do vetor (1,4) e \overrightarrow{A C} \perp r_{3}, onde
$r_{1}:\left{ \begin{array}{l}x=t+1 \\ y=-2 t+3\end{array} ; t \in \mathbb{R}, r_{2}:\left{ \begin{array}{l}x=-5 s+3 \\ y=4 s-1\end{array} ; s \in \mathbb{R}, r_{3}: 2 x-3 y=6\right.). Determine os vértices A, B e D, e calcule a área do paralelogramo.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • As retas paramétricas r_{1}: \begin{cases}x=t+1\\[4pt] y=-2t+3\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}
r_{2}: \begin{cases}x=-5s+3\\[4pt] y=4s-1\end{cases},\quad s\in\mathbb{R}
e a reta
r_{3}: 2x-3y=6.
  • Ponto conhecido: \;C=(2,3).
  • Condições do paralelogramo A B D C:
    • A\in r_{1}.
    • B\in r_{2}.
    • \overrightarrow{C D} é múltiplo do vetor (1,4) (ou seja, \overrightarrow{C D} é paralelo a (1,4)).
    • \overrightarrow{A C}\perp r_{3}.
  • O que pedir: determinar as coordenadas de A,B,D e calcular a área do paralelogramo.]

Passo 2

Ferramentas e ideias que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Vetores paralelos: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Assim, dizer que \overrightarrow{C D} é múltiplo de (1,4) significa que existe \lambda tal que \overrightarrow{C D}=\lambda(1,4).
  • Perpendicularidade entre vetor e reta: a reta r_{3}:2x-3y=6 tem vetor normal (2,-3). Um vetor é perpendicular a r_{3} se for paralelo a esse vetor normal. Portanto, se \overrightarrow{A C}\perp r_{3}, então existe \mu tal que \overrightarrow{A C}=\mu(2,-3).Ou seja, A=C-\mu(2,-3).
  • Paralelepípedo/paralelogramo (propriedade útil): para qualquer paralelogramo os somatórios dos vértices opostos satisfazem A+C=B+D,portanto D=A+C-B.Isso nos permite achar D diretamente quando temos A,B,C.
  • Área do paralelogramo: se u e v são vetores de lados adjacentes, a área é o valor absoluto do determinante 2×2 formado por eles: \text{Área} = \left|\det\begin{pmatrix}u_x & v_x\\[4pt] u_y & v_y\end{pmatrix}\right|.ÁAqui usaremos u=\overrightarrow{A B} e v=\overrightarrow{A C}.]

Passo 3

Usar \overrightarrow{A C}\perp r_{3} para encontrar A.
  • Como explicado, existe \mu tal que \overrightarrow{A C}=\mu(2,-3).Então A = C - \mu(2,-3).Escrevendo coordenadas: A=(2-2\mu,\;3+3\mu).
  • Também A\in r_{1}, logo existem t tal que A=(t+1,\;-2t+3).Igualando coordenadas obtemos o sistema 2-2\mu = t+1,\qquad 3+3\mu = -2t+3.
  • Da primeira equação isolamos t: t = 1-2\mu.Substituímos na segunda: 3+3\mu = -2(1-2\mu)+3.Calcule o lado direito: -2(1-2\mu)+3 = -2 +4\mu +3 = 1 +4\mu.Assim 3+3\mu = 1+4\mu.Subtraindo 3 e isolando \mu: 3\mu -4\mu = 1-3 \quad\Rightarrow\quad -\mu = -2 \quad\Rightarrow\quad \mu = 2.
  • Com \mu=2 obtemos t = 1-2\mu = 1-4 = -3.
  • Portanto as coordenadas de A são A=(2-2\cdot2,\;3+3\cdot2)=(-2,9).(Verificação rápida: com t=-3 em r_1 x=-3+1=-2,\;y=-2(-3)+3=6+3=9, consistente.)

Passo 4

Encontrar B usando que \overrightarrow{A B} é paralelo a (1,4) (já que \overrightarrow{C D} é múltiplo de (1,4) e lados opostos de paralelogramo são paralelos).
  • Escrevemos B de duas maneiras:
    • Como ponto de r_{2}: existe s com B=(-5s+3,\;4s-1).
    • Como A mais múltiplo de (1,4): existe \lambda com B = A + \lambda(1,4) = (-2+\lambda,\;9+4\lambda).
  • Igualando coordenadas: -5s+3 = -2+\lambda,\qquad 4s-1 = 9+4\lambda.
  • Da primeira equação isolamos \lambda: \lambda = -5s+5.Substituímos na segunda: 4s-1 = 9 + 4(-5s+5).Calcule o lado direito: 9 + 4(-5s+5) = 9 -20s +20 = 29 -20s.Assim 4s -1 = 29 -20s.Agrupando termos: 4s +20s = 29 +1 \quad\Rightarrow\quad 24s = 30 \quad\Rightarrow\quad s = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}.
  • Com s=\dfrac{5}{4} obtemos B = \left(-5\cdot\frac{5}{4}+3,\;4\cdot\frac{5}{4}-1\right) = \left(-\frac{25}{4}+\frac{12}{4},\;5-1\right) = \left(-\frac{13}{4},\;4\right).
  • Também podemos calcular \lambda: \lambda = -5s+5 = -5\cdot\frac{5}{4}+5 = -\frac{25}{4}+\frac{20}{4} = -\frac{5}{4},e conferir B = A + \lambda(1,4) = \big(-2-\tfrac{5}{4},\,9+4(-\tfrac{5}{4})\big)=\big(-\tfrac{13}{4},4\big), consistente.

Passo 5

Determinar D.
  • Usamos a propriedade do paralelogramo A+C=B+D, que dá D = A + C - B.
  • Calculando com coordenadas (usar frações com cuidado): A+C = (-2,9)+(2,3)=(0,12).
D=(0,12)-\left(-\frac{13}{4},4\right)=\left(0+\frac{13}{4},\,12-4\right)=\left(\frac{13}{4},8\right).
  • Verificação extra (opcional, mas bom para confiança): \overrightarrow{C D}=D-C=\big(\tfrac{13}{4}-2,\;8-3\big)=\big(\tfrac{5}{4},5\big)=\tfrac{5}{4}(1,4), ou seja, realmente é múltiplo de (1,4), conforme dado.

Passo 6

Calcular a área do paralelogramo usando vetores adjacentes em A: \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
  • Primeiro calculemos os vetores: \overrightarrow{A B}=B-A=\left(-\frac{13}{4},4\right)-(-2,9)=\left(-\frac{13}{4}+2,\;4-9\right)=\left(-\frac{5}{4},\,-5\right).
\overrightarrow{A C}=C-A=(2,3)-(-2,9)=(4,-6).
  • A área é o valor absoluto do determinante \text{Área} = \left|\det\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{4} & 4\\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}\right| = \left|(-\tfrac{5}{4})(-6) - (-5)\cdot 4\right|.ÁCalculemos passo a passo: (-\tfrac{5}{4})(-6)=\tfrac{30}{4}=\tfrac{15}{2},
(-5)\cdot 4 = -20,
então
\text{Área} = \left|\tfrac{15}{2} - (-20)\right| = \left|\tfrac{15}{2} + \tfrac{40}{2}\right| = \left|\tfrac{55}{2}\right| = \tfrac{55}{2}.Á
  • Em forma decimal, \tfrac{55}{2}=27{,}5, mas deixamos a área como fração exata \tfrac{55}{2}.]

Resposta

A=(-2,9)
B=\displaystyle\left(-\tfrac{13}{4},4\right)
D=\displaystyle\left(\tfrac{13}{4},8\right)
Área =\displaystyle \tfrac{55}{2}

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