Seja A B D C um paralelogramo tal que A \in r_{1}, B \in r_{2}, C=(2,3), \overrightarrow{C D} é múltiplo do vetor (1,4) e \overrightarrow{A C} \perp r_{3}, onde
$r_{1}:\left{\begin{array}{l}x=t+1 \\
y=-2 t+3\end{array} ; t \in \mathbb{R}, r_{2}:\left{\begin{array}{l}x=-5 s+3 \\
y=4 s-1\end{array} ; s \in \mathbb{R}, r_{3}: 2 x-3 y=6\right.). Determine os vértices A, B e D, e calcule a área do paralelogramo.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
As retas paramétricasr_{1}: \begin{cases}x=t+1\\[4pt] y=-2t+3\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}
\overrightarrow{C D} é múltiplo do vetor (1,4) (ou seja, \overrightarrow{C D} é paralelo a (1,4)).
\overrightarrow{A C}\perp r_{3}.
O que pedir: determinar as coordenadas de A,B,D e calcular a área do paralelogramo.]
Passo 2
Ferramentas e ideias que vamos usar (explicadas de forma prática):
Vetores paralelos: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Assim, dizer que \overrightarrow{C D} é múltiplo de (1,4) significa que existe \lambda tal que\overrightarrow{C D}=\lambda(1,4).
Perpendicularidade entre vetor e reta: a reta r_{3}:2x-3y=6 tem vetor normal (2,-3). Um vetor é perpendicular a r_{3} se for paralelo a esse vetor normal. Portanto, se \overrightarrow{A C}\perp r_{3}, então existe \mu tal que\overrightarrow{A C}=\mu(2,-3).Ou seja, A=C-\mu(2,-3).
Paralelepípedo/paralelogramo (propriedade útil): para qualquer paralelogramo os somatórios dos vértices opostos satisfazemA+C=B+D,portantoD=A+C-B.Isso nos permite achar D diretamente quando temos A,B,C.
Área do paralelogramo: se u e v são vetores de lados adjacentes, a área é o valor absoluto do determinante 2×2 formado por eles:\text{Área} = \left|\det\begin{pmatrix}u_x & v_x\\[4pt] u_y & v_y\end{pmatrix}\right|.ÁAqui usaremos u=\overrightarrow{A B} e v=\overrightarrow{A C}.]
Passo 3
Usar \overrightarrow{A C}\perp r_{3} para encontrar A.
Como explicado, existe \mu tal que\overrightarrow{A C}=\mu(2,-3).EntãoA = C - \mu(2,-3).Escrevendo coordenadas:A=(2-2\mu,\;3+3\mu).
Também A\in r_{1}, logo existem t tal queA=(t+1,\;-2t+3).Igualando coordenadas obtemos o sistema2-2\mu = t+1,\qquad 3+3\mu = -2t+3.
Da primeira equação isolamos t:t = 1-2\mu.Substituímos na segunda:3+3\mu = -2(1-2\mu)+3.Calcule o lado direito:-2(1-2\mu)+3 = -2 +4\mu +3 = 1 +4\mu.Assim3+3\mu = 1+4\mu.Subtraindo 3 e isolando \mu:3\mu -4\mu = 1-3 \quad\Rightarrow\quad -\mu = -2 \quad\Rightarrow\quad \mu = 2.
Com \mu=2 obtemos t = 1-2\mu = 1-4 = -3.
Portanto as coordenadas de A sãoA=(2-2\cdot2,\;3+3\cdot2)=(-2,9).(Verificação rápida: com t=-3 em r_1 dá x=-3+1=-2,\;y=-2(-3)+3=6+3=9, consistente.)
Passo 4
Encontrar B usando que \overrightarrow{A B} é paralelo a (1,4) (já que \overrightarrow{C D} é múltiplo de (1,4) e lados opostos de paralelogramo são paralelos).
Escrevemos B de duas maneiras:
Como ponto de r_{2}: existe s comB=(-5s+3,\;4s-1).
Como A mais múltiplo de (1,4): existe \lambda comB = A + \lambda(1,4) = (-2+\lambda,\;9+4\lambda).
Verificação extra (opcional, mas bom para confiança): \overrightarrow{C D}=D-C=\big(\tfrac{13}{4}-2,\;8-3\big)=\big(\tfrac{5}{4},5\big)=\tfrac{5}{4}(1,4), ou seja, realmente é múltiplo de (1,4), conforme dado.
Passo 6
Calcular a área do paralelogramo usando vetores adjacentes em A: \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
Primeiro calculemos os vetores:\overrightarrow{A B}=B-A=\left(-\frac{13}{4},4\right)-(-2,9)=\left(-\frac{13}{4}+2,\;4-9\right)=\left(-\frac{5}{4},\,-5\right).
\overrightarrow{A C}=C-A=(2,3)-(-2,9)=(4,-6).
A área é o valor absoluto do determinante\text{Área} = \left|\det\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{4} & 4\\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}\right| = \left|(-\tfrac{5}{4})(-6) - (-5)\cdot 4\right|.ÁCalculemos passo a passo:(-\tfrac{5}{4})(-6)=\tfrac{30}{4}=\tfrac{15}{2},