Decidir em cada caso se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para decidir, no caso dado, se
é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano. As informações fornecidas são:
- O conjunto
é , ou seja pares com . - A operação binária
em é definida por
As perguntas a responder são:
-
satisfaz os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos)? - Se for grupo, ele é abeliano (comutativo) ou não?
Passo 2
Fechamento: devemos verificar que o resultado da operação entre dois elementos de
pertence novamente a
.
- Tome
. - A segunda coordenada de
é , que é soma de inteiros, portanto . - A primeira coordenada é
. Note que vale ou (sempre um inteiro), e , então . Assim . - Portanto
. Concluímos que a operação é fechada em .
Passo 3
Associatividade: vamos mostrar que
para quaisquer
.
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
Aplicando
com
:
Agora o lado direito: primeiro
Aplicando
:
Usando a propriedade das potências de
,
vemos que as componentes coincidem em ambos os lados:
Portanto a operação é associativa.
Observação didática curta: a razão essencial da associatividade é que a parte que multiplica
aparece como
de ambos os lados, e a regra de expoentes de
faz tudo casar. Lembre que
é sempre
ou
e segue a lei de multiplicação de expoentes.]
Passo 4
Elemento neutro: procuramos
tal que, para todo
,
Calcule
:
Para isto ser igual a
para todo
é necessário e suficiente que
A condição
para todo
força
. Logo
e
, isto é
.
Verificação à esquerda também: para
,
pois
. Assim
é elemento neutro à direita e à esquerda; é o elemento neutro do grupo.
Passo 5
Inversos: dado
, buscamos
tal que
Da primeira igualdade,
Da segunda,
Da condição
segue
. Substituindo em
obtemos
Portanto uma candidata é
Vamos verificar explicitamente que isso funciona tanto à direita quanto à esquerda. Primeiro à direita:
Note que
porque
é par; então
e
. Logo dá
.
À esquerda:
Mas
(porque
é
e seu inverso é ele mesmo), então a primeira coordenada é
e a segunda é
. Assim o inverso funciona à esquerda também.
Concluímos que todo elemento tem inverso; portanto os quatro axiomas de grupo são satisfeitos: fechamento, associatividade, neutro e inversos.
Passo 6
Verificação de comutatividade (ser abeliano): precisamos verificar se
para todos
. Calculando ambos:
As segundas coordenadas coincidem (
). As primeiras coordenadas coincidem se e somente se
ou seja
Essa igualdade não é verdadeira para todos os inteiros
. Basta um contraexemplo para concluir que o grupo não é abeliano.
Escolhemos um contraexemplo simples: tome
e
.
- Então
- Enquanto
Como
, a operação não é comutativa. Portanto o grupo não é abeliano.
Passo 7
Conclusão final: todos os axiomas de grupo foram verificados e a operação não é comutativa em geral. Então
é um grupo não abeliano.
Resposta
Sim,
é um grupo.
Não, não é abeliano.
Não,