Decidir em cada caso se (G, *) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano ou não.
(c) G=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z},(m, n) *(r, s)=\left(m+(-1)^{n} r, n+s\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir, no caso dado, se (G,*) é um grupo e, em caso afirmativo, se é abeliano. As informações fornecidas são:
  • O conjunto G é \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, ou seja pares (m,n) com m,n\in\mathbb{Z}.
  • A operação binária * em G é definida por
(m,n)*(r,s)=\bigl(m+(-1)^{n}r,\; n+s\bigr).
As perguntas a responder são:
  1. (G,*) satisfaz os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos)?
  2. Se for grupo, ele é abeliano (comutativo) ou não?

Passo 2

Fechamento: devemos verificar que o resultado da operação entre dois elementos de G pertence novamente a G.
  • Tome (m,n),(r,s)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.
  • A segunda coordenada de (m,n)*(r,s) é n+s, que é soma de inteiros, portanto n+s\in\mathbb{Z}.
  • A primeira coordenada é m+(-1)^n r. Note que (-1)^n vale 1 ou -1 (sempre um inteiro), e r\in\mathbb{Z}, então (-1)^n r\in\mathbb{Z}. Assim m+(-1)^n r\in\mathbb{Z}.
  • Portanto (m,n)*(r,s)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Concluímos que a operação é fechada em G.

Passo 3

Associatividade: vamos mostrar que
\bigl((m,n)*(r,s)\bigr)*(p,q)=(m,n)*\bigl((r,s)*(p,q)\bigr)
para quaisquer (m,n),(r,s),(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
(m,n)*(r,s)=\bigl(m+(-1)^n r,\; n+s\bigr).
Aplicando * com (p,q):
\begin{aligned} \bigl((m,n)*(r,s)\bigr)*(p,q) &=\Bigl(\bigl(m+(-1)^n r\bigr)+(-1)^{\,n+s}p,\; (n+s)+q\Bigr)\\[4pt] &=\bigl(m+(-1)^n r+(-1)^{\,n+s}p,\; n+s+q\bigr). \end{aligned}
Agora o lado direito: primeiro
(r,s)*(p,q)=\bigl(r+(-1)^s p,\; s+q\bigr).
Aplicando (m,n)*(\cdot):
\begin{aligned} (m,n)*\bigl((r,s)*(p,q)\bigr) &=\Bigl(m+(-1)^n\bigl(r+(-1)^s p\bigr),\; n+(s+q)\Bigr)\\[4pt] &=\bigl(m+(-1)^n r+(-1)^n(-1)^s p,\; n+s+q\bigr). \end{aligned}
Usando a propriedade das potências de -1,
(-1)^n(-1)^s = (-1)^{n+s},
vemos que as componentes coincidem em ambos os lados:
m+(-1)^n r+(-1)^{n+s}p \quad\text{e}\quad n+s+q.
Portanto a operação é associativa.
Observação didática curta: a razão essencial da associatividade é que a parte que multiplica p aparece como (-1)^{n+s} de ambos os lados, e a regra de expoentes de -1 faz tudo casar. Lembre que (-1)^k é sempre 1 ou -1 e segue a lei de multiplicação de expoentes.]

Passo 4

Elemento neutro: procuramos e=(e_1,e_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tal que, para todo (m,n),
(m,n)*e=(m,n)\quad\text{e}\quad e*(m,n)=(m,n).
Calcule (m,n)*e:
(m,n)*(e_1,e_2)=\bigl(m+(-1)^n e_1,\; n+e_2\bigr).
Para isto ser igual a (m,n) para todo m,n é necessário e suficiente que
(-1)^n e_1=0\quad\text{e}\quad e_2=0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.
A condição (-1)^n e_1=0 para todo n força e_1=0. Logo e_1=0 e e_2=0, isto é e=(0,0).
Verificação à esquerda também: para e=(0,0),
(0,0)*(m,n)=\bigl(0+(-1)^0 m,\; 0+n\bigr)=(m,n),
pois (-1)^0=1. Assim (0,0) é elemento neutro à direita e à esquerda; é o elemento neutro do grupo.

Passo 5

Inversos: dado (m,n), buscamos (r,s) tal que
(m,n)*(r,s)=(0,0)\quad\text{e}\quad (r,s)*(m,n)=(0,0).
Da primeira igualdade,
m+(-1)^n r=0,\qquad n+s=0.
Da segunda,
r+(-1)^s m=0,\qquad s+n=0.
Da condição n+s=0 segue s=-n. Substituindo em m+(-1)^n r=0 obtemos
r=-(-1)^n m = (-1)^{n+1} m.
Portanto uma candidata é
(m,n)^{-1}=\bigl((-1)^{n+1}m,\; -n\bigr).
Vamos verificar explicitamente que isso funciona tanto à direita quanto à esquerda. Primeiro à direita:
(m,n)*\bigl((-1)^{n+1}m,-n\bigr) =\Bigl(m+(-1)^n\bigl((-1)^{n+1}m\bigr),\; n+(-n)\Bigr).
Note que (-1)^n(-1)^{n+1}=(-1)^{2n+1}=(-1) porque 2n é par; então
m+(-1)^n((-1)^{n+1}m)=m+(-1)m=0,
e n+(-n)=0. Logo dá (0,0).
À esquerda:
\bigl((-1)^{n+1}m,-n\bigr)*(m,n) =\Bigl((-1)^{n+1}m+(-1)^{-n}m,\; -n+n\Bigr).
Mas (-1)^{-n}=(-1)^n (porque (-1)^n é \pm1 e seu inverso é ele mesmo), então a primeira coordenada é
(-1)^{n+1}m+(-1)^n m = (-1)^n\bigl((-1)m + m\bigr)=0,
e a segunda é 0. Assim o inverso funciona à esquerda também.
Concluímos que todo elemento tem inverso; portanto os quatro axiomas de grupo são satisfeitos: fechamento, associatividade, neutro e inversos.

Passo 6

Verificação de comutatividade (ser abeliano): precisamos verificar se
(m,n)*(r,s)=(r,s)*(m,n)
para todos (m,n),(r,s). Calculando ambos:
(m,n)*(r,s)=\bigl(m+(-1)^n r,\; n+s\bigr),
(r,s)*(m,n)=\bigl(r+(-1)^s m,\; s+n\bigr).
As segundas coordenadas coincidem ( n+s=s+n). As primeiras coordenadas coincidem se e somente se
m+(-1)^n r = r+(-1)^s m,
ou seja
m\bigl(1-(-1)^s\bigr) = r\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Essa igualdade não é verdadeira para todos os inteiros m,r,n,s. Basta um contraexemplo para concluir que o grupo não é abeliano.
Escolhemos um contraexemplo simples: tome (m,n)=(1,1) e (r,s)=(1,0).
  • Então
(1,1)*(1,0)=\bigl(1+(-1)^1\cdot1,\;1+0\bigr)=(1-1,1)=(0,1).
  • Enquanto
(1,0)*(1,1)=\bigl(1+(-1)^0\cdot1,\;0+1\bigr)=(1+1,1)=(2,1).
Como (0,1)\neq(2,1), a operação não é comutativa. Portanto o grupo não é abeliano.

Passo 7

Conclusão final: todos os axiomas de grupo foram verificados e a operação não é comutativa em geral. Então (G,*) é um grupo não abeliano.

Resposta

Sim, (G,*) é um grupo.
Não, (G,*) não é abeliano.

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