Exercício 2. Duas ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda:
onde ф é uma constante de fase.
(a) Se
para qual sinal de
valores de
a onda resultante é estacionária?
(b) Para quais valores de
ocorre interferência construtiva? E destrutiva? O sinal de
importa?
(a) Se
(b) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá duas ondas transversais de mesma amplitude
e mesmo número de onda
, porém com frequências
e
(em geral diferentes) e defasagem constante
:
O conteúdo é superposição de ondas, interferência e condição para onda estacionária. Precisaremos usar a identidade trigonométrica
Passo 2
Aplicando a soma das duas cossenos, com
e
, obtemos
Passo 3
Para que
seja uma onda estacionária, a parte que depende de
não pode depender de
, e a parte que depende de
não pode depender de
. Na expressão acima isso exige
Como foi dado
, essa condição equivale a
.
Passo 4
(a) A onda resultante é estacionária se e somente se
(isto é,
). Nesse caso o resultado geral é
para qualquer valor de
. Se
, não se forma onda estacionária (a não ser o caso trivial de cancelamento total quando
, mas isso não é uma onda física).
Passo 5
(b) Em geral, quando duas ondas de mesma frequência e mesma direção se somam, a interferência é dita construtiva se estiverem em fase, e destrutiva se estiverem em oposição de fase. Aqui a fase relativa é exatamente
.
- Interferência construtiva acontece quando
pois aí as cristas coincidem e a amplitude resultante local é
.
- Interferência destrutiva completa (anulação) ocorre quando
pois uma onda está defasada em
e cancela a outra.
O sinal de não altera essas condições de interferência — elas dependem só da fase relativa
.
O sinal de
Resposta
(a) Onda estacionária somente se
, para qualquer
.
(b) Construtiva: . Destrutiva:
. O sinal de
não importa.
(b) Construtiva: