Exercício 2. Duas ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda:
y_{1}(x, t)=A \cos \left(k x+\omega_{1} t\right), \quad y_{2}(x, t)=A \cos \left(k x+\omega_{2} t+\varphi\right)
onde ф é uma constante de fase.
(a) Se \left|\omega_{1}\right|=\left|\omega_{2}\right| para qual sinal de \omega_{1} \omega_{2}= \pm e valores de \varphi a onda resultante é estacionária?
(b) Para quais valores de \varphi ocorre interferência construtiva? E destrutiva? O sinal de \omega_{1} \omega_{2}= \pm importa?

Passo 1

O enunciado dá duas ondas transversais de mesma amplitude A e mesmo número de onda k, porém com frequências \omega_{1} e \omega_{2} (em geral diferentes) e defasagem constante \varphi:
y_{1}(x,t)=A\cos\bigl(kx+\omega_{1}t\bigr), \quad y_{2}(x,t)=A\cos\bigl(kx+\omega_{2}t+\varphi\bigr).
O conteúdo é superposição de ondas, interferência e condição para onda estacionária. Precisaremos usar a identidade trigonométrica
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr).

Passo 2

Aplicando a soma das duas cossenos, com \alpha=kx+\omega_{1}t e \beta=kx+\omega_{2}t+\varphi, obtemos
y=y_{1}+y_{2} =2A\cos\!\Bigl(kx+\tfrac{(\omega_{1}+\omega_{2})t+\varphi}{2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{(\omega_{1}-\omega_{2})t-\varphi}{2}\Bigr).

Passo 3

Para que y seja uma onda estacionária, a parte que depende de x não pode depender de t, e a parte que depende de t não pode depender de x. Na expressão acima isso exige
\omega_{1}+\omega_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{2}=-\omega_{1}.
Como foi dado \lvert\omega_{1}\rvert=\lvert\omega_{2}\rvert, essa condição equivale a \omega_{1}\omega_{2}<0.

Passo 4

(a) A onda resultante é estacionária se e somente se \omega_{2}=-\omega_{1} (isto é, \omega_{1}\omega_{2}<0). Nesse caso o resultado geral é
y=2A\cos\!\Bigl(kx+\tfrac{\varphi}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\omega_{1}t-\tfrac{\varphi}{2}\Bigr),
para qualquer valor de \varphi. Se \omega_{1}\omega_{2}>0, não se forma onda estacionária (a não ser o caso trivial de cancelamento total quando \varphi=(2n+1)\pi, mas isso não é uma onda física).

Passo 5

(b) Em geral, quando duas ondas de mesma frequência e mesma direção se somam, a interferência é dita construtiva se estiverem em fase, e destrutiva se estiverem em oposição de fase. Aqui a fase relativa é exatamente \varphi.
  • Interferência construtiva acontece quando
\varphi=2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z},
pois aí as cristas coincidem e a amplitude resultante local é 2A.
  • Interferência destrutiva completa (anulação) ocorre quando
\varphi=(2m+1)\pi,\quad m\in\mathbb{Z},
pois uma onda está defasada em \pi e cancela a outra.
O sinal de \omega_{1}\omega_{2} não altera essas condições de interferência — elas dependem só da fase relativa \varphi.

Resposta

(a) Onda estacionária somente se \omega_{2}=-\omega_{1} \omega_{1}\omega_{2}<0, para qualquer \varphi.
(b) Construtiva: \varphi=2m\pi. Destrutiva: \varphi=(2m+1)\pi. O sinal de \omega_{1}\omega_{2} não importa.

Exercícios relacionados