Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede que se decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, no contexto de um grupo e dados
pertencentes a esse grupo:
Informações dadas:
- Há um grupo (com operação multiplicativa e elemento neutro denotado por
). -
e são elementos desse grupo. - A hipótese é que
.
O que é pedido: determinar se a implicação acima é verdadeira ou falsa e justificar (prova ou contraexemplo).
Passo 2
Lembrete / propriedade básica de grupos (que vou usar): para quaisquer
no grupo vale
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular etapas):
- Pela definição de inverso,
é o elemento que satisfaça . - Consideremos
. Multiplicando por pela direita obtemos
- Também multiplicando
por pela direita obtemos
- Como
é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de , pela unicidade do inverso concluímos que .
Essa propriedade é tão padrão que a usamos como fato.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao par
temos sempre
A hipótese do enunciado afirma que
. Comparando as duas expressões obtemos, portanto,
Ou seja, os inversos
e
comutam.
Passo 4
Agora uso uma regra simples sobre inversos: se
então
. Tomando inverso em ambos os lados da igualdade
obtém-se
Calculamos cada lado usando novamente que o inverso de um produto inverte a ordem:
-
, porque ao inverter o produto volta-se à ordem direta e cada inverso duplo cancela: . -
por razão análoga.
Logo
Portanto a igualdade inicial leva necessariamente à comutação de
e
.
Passo 5
Resumo do raciocínio (em palavras simples): na teoria de grupos o inverso de
é sempre
. Se por hipótese isso for igual a
, então os elementos
e
comutam; tomando inversos dessa igualdade volta-se à igualdade
. Assim, a implicação é verdadeira. Se preferir outra forma de ver: é possível também multiplicar adequadamente a igualdade
pelos lados para isolar e obter
; os dois métodos são equivalentes.
Força aí — você já chegou na conclusão formal: a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.