Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(c) (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1} \Rightarrow a b=b a.

Passo 1

O enunciado pede que se decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, no contexto de um grupo e dados a,b pertencentes a esse grupo:
(ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}\\ \Rightarrow\\ ab=ba.
Informações dadas:
  • Há um grupo (com operação multiplicativa e elemento neutro denotado por e).
  • a e b são elementos desse grupo.
  • A hipótese é que (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}.
    O que é pedido: determinar se a implicação acima é verdadeira ou falsa e justificar (prova ou contraexemplo).

Passo 2

Lembrete / propriedade básica de grupos (que vou usar): para quaisquer x,y no grupo vale
(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular etapas):
  • Pela definição de inverso, z^{-1} é o elemento que satisfaça z z^{-1}=z^{-1}z=e.
  • Consideremos y^{-1}x^{-1}. Multiplicando xy por y^{-1}x^{-1} pela direita obtemos
(xy)(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} = x e x^{-1} = x x^{-1} = e.
  • Também multiplicando y^{-1}x^{-1} por xy pela direita obtemos
(y^{-1}x^{-1})(xy) = y^{-1}(x^{-1}x)y = y^{-1} e y = y^{-1} y = e.
  • Como y^{-1}x^{-1} é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de xy, pela unicidade do inverso concluímos que (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}.
Essa propriedade é tão padrão que a usamos como fato.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao par (a,b) temos sempre
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
A hipótese do enunciado afirma que (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. Comparando as duas expressões obtemos, portanto,
b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}.
Ou seja, os inversos a^{-1} e b^{-1} comutam.

Passo 4

Agora uso uma regra simples sobre inversos: se x=y então x^{-1}=y^{-1}. Tomando inverso em ambos os lados da igualdade b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1} obtém-se
(b^{-1}a^{-1})^{-1}=(a^{-1}b^{-1})^{-1}.
Calculamos cada lado usando novamente que o inverso de um produto inverte a ordem:
  • (b^{-1}a^{-1})^{-1}=a b, porque ao inverter o produto volta-se à ordem direta e cada inverso duplo cancela: (b^{-1}a^{-1})^{-1}= (a^{-1})^{-1}(b^{-1})^{-1}=a b.
  • (a^{-1}b^{-1})^{-1}=b a por razão análoga.
    Logo
ab=ba.
Portanto a igualdade inicial leva necessariamente à comutação de a e b.

Passo 5

Resumo do raciocínio (em palavras simples): na teoria de grupos o inverso de ab é sempre b^{-1}a^{-1}. Se por hipótese isso for igual a a^{-1}b^{-1}, então os elementos a^{-1} e b^{-1} comutam; tomando inversos dessa igualdade volta-se à igualdade ab=ba. Assim, a implicação é verdadeira. Se preferir outra forma de ver: é possível também multiplicar adequadamente a igualdade b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1} pelos lados para isolar e obter ab=ba; os dois métodos são equivalentes.
Força aí — você já chegou na conclusão formal: a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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