Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa em um grupo:
Informações dadas (implícitas no enunciado):
-
é um elemento de um grupo qualquer . -
e são inteiros (isto é padrão quando se usa a notação com expoentes inteiros). - A tarefa é determinar se a implicação vale para todo grupo e todo
.
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades básicas que vamos usar, explicadas com calma.
Definição de grupo e potência inteira:
- Um grupo
tem um elemento identidade e cada tem inverso . - Para
define-se ( vezes). - Define-se
. - Para
define-se . - Valem as regras usuais de expoentes:
para inteiros , e em particular .
Definição de ordem de um elemento:
- A ordem de
, denotada , é o menor inteiro positivo tal que , se existir; caso contrário diz-se que .
Essas noções são o que precisamos para analisar a implicação.
Passo 3
Observação simples que já dá contraexemplo (caso de elemento identidade):
- Se
(o elemento identidade), então para todos os inteiros . - Portanto é possível ter
com . - Logo a afirmação é, ao menos, falsa em geral.
Mas vamos não ficar só no exemplo trivial; explico a razão geral e os casos possíveis.
Passo 4
Redução algébrica geral:
- Se
então multiplicando à direita por (ou à esquerda, dependendo da notação, mas a regra de expoentes funciona) obtemos
ou seja,
Isso é uma equivalência:
.
Portanto o problema reduz-se a estudar quando
ocorre para
.
Passo 5
Caso
(ordem finita):
- Por definição,
e é o menor inteiro positivo com essa propriedade. - Se
então divide . Em símbolos:
- Portanto existem infinitos pares
distintos com (por exemplo, dá com ). - Conclusão: quando
é finita, a implicação é falsa.
Exemplo concreto: escolha
uma raiz primitiva sexta da unidade
no grupo multiplicativo dos complexos. Então
. Temos
com
.
Passo 6
Caso
(ordem infinita):
- Se
e então, como em Passo 4, . - Mas por definição de ordem infinita, a única potência inteira que dá
é a potência zerada: isto força . - Logo
. - Portanto, para elementos de ordem infinita, a implicação é verdadeira.
Exemplo concreto: no grupo
(que é isomorfo ao grupo gerado multiplicativamente por um elemento de ordem infinita se mudarmos a notação), a igualdade
implica
.
Passo 7
Resumo didático (como resolver rápido numa prova):
- Recorde:
. - Cheque a ordem de
: - Se
, conclui-se imediatamente . - Se
, então , portanto não precisa ser (pode ocorrer ).
- Se
- Em exercícios, se nada for dito sobre a ordem de
, não se pode garantir a implicação; procure contraexemplos como ou um gerador de um grupo cíclico finito.
Resposta
Falso. É verdadeiro exatamente quando
; se
então
.