Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(b) a^{m}=a^{n} \Rightarrow m=n.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa em um grupo:
\text{(b) } a^{m}=a^{n}\Rightarrow m=n.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • a é um elemento de um grupo qualquer G.
  • m e n são inteiros (isto é padrão quando se usa a notação a^{m} com expoentes inteiros).
  • A tarefa é determinar se a implicação vale para todo grupo e todo a,m,n.

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades básicas que vamos usar, explicadas com calma.
Definição de grupo e potência inteira:
  • Um grupo (G,\cdot) tem um elemento identidade e e cada a\in G tem inverso a^{-1}.
  • Para k\in\mathbb{N} define-se a^{k}=a\cdot a\cdots a ( k vezes).
  • Define-se a^{0}=e.
  • Para k\in\mathbb{N} define-se a^{-k}=(a^{-1})^{k}.
  • Valem as regras usuais de expoentes: a^{r}a^{s}=a^{r+s} para inteiros r,s, e em particular a^{r}a^{-s}=a^{r-s}.
Definição de ordem de um elemento:
  • A ordem de a, denotada \mathrm{ord}(a), é o menor inteiro positivo d tal que a^{d}=e, se existir; caso contrário diz-se que \mathrm{ord}(a)=\infty.
Essas noções são o que precisamos para analisar a implicação.

Passo 3

Observação simples que já dá contraexemplo (caso de elemento identidade):
  • Se a=e (o elemento identidade), então a^{m}=e=a^{n} para todos os inteiros m,n.
  • Portanto é possível ter a^{m}=a^{n} com m\neq n.
  • Logo a afirmação é, ao menos, falsa em geral.
Mas vamos não ficar só no exemplo trivial; explico a razão geral e os casos possíveis.

Passo 4

Redução algébrica geral:
  • Se a^{m}=a^{n} então multiplicando à direita por a^{-n} (ou à esquerda, dependendo da notação, mas a regra de expoentes funciona) obtemos
a^{m}a^{-n}=e,
ou seja,
a^{m-n}=e.
Isso é uma equivalência: a^{m}=a^{n}\iff a^{m-n}=e.
Portanto o problema reduz-se a estudar quando a^{k}=e ocorre para k=m-n.

Passo 5

Caso \mathrm{ord}(a)=d<\infty (ordem finita):
  • Por definição, a^{d}=e e d é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
  • Se a^{m-n}=e então d divide m-n. Em símbolos:
a^{m}=a^{n}\iff a^{m-n}=e\iff d\mid (m-n).
  • Portanto existem infinitos pares (m,n) distintos com a^{m}=a^{n} (por exemplo, m=n+d a^{m}=a^{n} com m\neq n).
  • Conclusão: quando \mathrm{ord}(a) é finita, a implicação a^{m}=a^{n}\Rightarrow m=n é falsa.
Exemplo concreto: escolha a uma raiz primitiva sexta da unidade \omega=e^{2\pi i/6} no grupo multiplicativo dos complexos. Então \omega^{6}=1. Temos \omega^{0}=\omega^{6} com 0\neq6.

Passo 6

Caso \mathrm{ord}(a)=\infty (ordem infinita):
  • Se \mathrm{ord}(a)=\infty e a^{m}=a^{n} então, como em Passo 4, a^{m-n}=e.
  • Mas por definição de ordem infinita, a única potência inteira que dá e é a potência zerada: isto força m-n=0.
  • Logo m=n.
  • Portanto, para elementos de ordem infinita, a implicação é verdadeira.
Exemplo concreto: no grupo (\mathbb{Z},+) (que é isomorfo ao grupo gerado multiplicativamente por um elemento de ordem infinita se mudarmos a notação), a igualdade m\cdot 1 = n\cdot 1 implica m=n.

Passo 7

Resumo didático (como resolver rápido numa prova):
  • Recorde: a^{m}=a^{n}\iff a^{m-n}=e.
  • Cheque a ordem de a:
    • Se \mathrm{ord}(a)=\infty, conclui-se imediatamente m-n=0\Rightarrow m=n.
    • Se \mathrm{ord}(a)=d<\infty, então a^{m}=a^{n}\iff d\mid(m-n), portanto não precisa ser m=n (pode ocorrer m\neq n).
  • Em exercícios, se nada for dito sobre a ordem de a, não se pode garantir a implicação; procure contraexemplos como a=e ou um gerador de um grupo cíclico finito.

Resposta

Falso. É verdadeiro exatamente quando \mathrm{ord}(a)=\infty; se \mathrm{ord}(a)=d<\infty então a^{m}=a^{n}\iff d\mid (m-n).

Exercícios relacionados