Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa em qualquer grupo:
Informações dadas e condições que podemos usar:
- Está trabalhando-se em um grupo (com operação que aqui escrevemos multiplicativamente).
-
é o elemento identidade do grupo, isto é, para todo vale . - Para todo elemento
existe um inverso tal que . -
é um elemento arbitrário do grupo.
A tarefa é verificar se a equivalência acima vale para tododo grupo.
Passo 2
Vamos explicar claramente o significado de cada lado da equivalência:
- A expressão
diz que o elemento é igual ao seu próprio inverso. - A expressão
diz que , isto é, multiplicando por si mesmo obtém-se a identidade.
Também precisaremos do fato (que vou demonstrar adiante) de que o inverso de um elemento é único: see satisfazem e , então .
Passo 3
Prova da implicação
: suponha
. Então, usando a propriedade de inverso
, obtemos
Portanto,
implica
.
Passo 4
Prova da implicação
: suponha
, isto é,
. Isso mostra que
é um inverso de
(pois um inverso de
é qualquer elemento
tal que
; aqui temos
). Pela unicidade do inverso concluímos que esse inverso deve ser exatamente
, logo
.
Para deixar a prova da unicidade explícita — que usei no argumento anterior — veja a demonstração curta: se
e
são ambos inversos de
, então
portanto o inverso é único.
Alternativamente, uma demonstração direta sem mencionar unicidade: a partir de
multiplica-se à direita por
:
Como
, obtemos
, ou seja
.
Passo 5
Conclusão: mostramos as duas implicações
e
. Portanto a equivalência é verdadeira para qualquer elemento
de um grupo. Uma interpretação rápida: dizer que
é igual ao seu inverso é exatamente dizer que a ordem de
divide
(ou seja, ordem
ou
), e isso corresponde a
.
Resposta
Verdadeira.