Decidir se em um grupo as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(a) a=a^{-1} \Leftrightarrow a^{2}=e.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa em qualquer grupo:
a = a^{-1} \Longleftrightarrow a^{2} = e.
Informações dadas e condições que podemos usar:
  • Está trabalhando-se em um grupo (com operação que aqui escrevemos multiplicativamente).
  • e é o elemento identidade do grupo, isto é, para todo x vale x e = e x = x.
  • Para todo elemento x existe um inverso x^{-1} tal que x x^{-1} = x^{-1} x = e.
  • a é um elemento arbitrário do grupo.
    A tarefa é verificar se a equivalência acima vale para todo a do grupo.

Passo 2

Vamos explicar claramente o significado de cada lado da equivalência:
  • A expressão a = a^{-1} diz que o elemento a é igual ao seu próprio inverso.
  • A expressão a^{2}=e diz que a\cdot a = e, isto é, multiplicando a por si mesmo obtém-se a identidade.
    Também precisaremos do fato (que vou demonstrar adiante) de que o inverso de um elemento é único: se b e c satisfazem a b = b a = e e a c = c a = e, então b=c.

Passo 3

Prova da implicação \Rightarrow: suponha a = a^{-1}. Então, usando a propriedade de inverso a a^{-1} = e, obtemos
a^{2} = a\cdot a = a\cdot a^{-1} = e.
Portanto, a = a^{-1} implica a^{2}=e.

Passo 4

Prova da implicação \Leftarrow: suponha a^{2}=e, isto é, a\cdot a = e. Isso mostra que a é um inverso de a (pois um inverso de a é qualquer elemento b tal que a b = b a = e; aqui temos a a = e). Pela unicidade do inverso concluímos que esse inverso deve ser exatamente a^{-1}, logo a = a^{-1}.
Para deixar a prova da unicidade explícita — que usei no argumento anterior — veja a demonstração curta: se b e c são ambos inversos de a, então
b = b\cdot e = b\cdot (a c) = (b a)\cdot c = e\cdot c = c,
portanto o inverso é único.
Alternativamente, uma demonstração direta sem mencionar unicidade: a partir de a^{2}=e multiplica-se à direita por a^{-1}:
a^{2}a^{-1} = e a^{-1} \quad\Rightarrow\quad a\,(a a^{-1}) = a^{-1}.
Como a a^{-1}=e, obtemos a\cdot e = a^{-1}, ou seja a = a^{-1}.

Passo 5

Conclusão: mostramos as duas implicações a = a^{-1}\Rightarrow a^{2}=e e a^{2}=e\Rightarrow a = a^{-1}. Portanto a equivalência é verdadeira para qualquer elemento a de um grupo. Uma interpretação rápida: dizer que a é igual ao seu inverso é exatamente dizer que a ordem de a divide 2 (ou seja, ordem 1 ou 2), e isso corresponde a a^{2}=e.

Resposta

Verdadeira.

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