Construa a tabela de operações para ( \mathbb{Z}_{n},+ ), quando n=4,6,7.

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela de operações (a tabela de adição, também chamada de tabela de Cayley) para o grupo (\mathbb{Z}_{n},+) nos casos n=4, n=6 e n=7.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • Para cada n a estrutura é \mathbb{Z}_{n}=\{0,1,\dots,n-1\}.
  • A operação é a adição módulo n: ao somar dois elementos, se o resultado for maior ou igual a n subtrai-se n (ou equivalently toma-se o resto da divisão por n) para ficar no conjunto \{0,\dots,n-1\}.
  • A tabela deve listar todas as somas a+b (reduzidas módulo n) para a,b\in\mathbb{Z}_n.

Passo 2

Explicando a operação de modo prático e bem didático.
Definição e como calcular uma entrada da tabela:
  • Tome a,b\in\mathbb{Z}_n.
  • Calcule a+b normalmente.
  • Se a+b\ge n, subtraia n (ou subtraia k n até ficar entre 0 e n-1); o resultado é (a+b)\bmod n.
  • Em notação curta, a operação é a\oplus b=(a+b)\bmod n.
Observações úteis para a prova:
  • A operação é comutativa: a\oplus b=b\oplus a. Logo a tabela será simétrica em relação à diagonal.
  • A linha (ou coluna) do elemento 0 reproduz todos os elementos: 0\oplus a=a.
Exemplo genérico: para n=6, 4\oplus5=(4+5)\bmod6=9\bmod6=3. Para n=7, 3\oplus5=(3+5)\bmod7=8\bmod7=1.

Passo 3

Como montar a tabela (procedimento prático, passo a passo):
  • Liste os elementos 0,1,\dots,n-1 no topo (colunas) e na lateral (linhas).
  • Para cada célula na interseção da linha a e coluna b, escreva (a+b)\bmod n.
  • Use a comutatividade para economizar tempo: calcule a metade e preencha a outra pela simetria, mas na prova pode ser mais seguro preencher linha a linha.
Agora vamos fazer isso explicitamente para cada n.

Passo 4

Montagem da tabela para n=4.
Conjunto: \mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}.
Alguns exemplos de cálculo:
  • 1\oplus 3=(1+3)\bmod4=4\bmod4=0.
  • 2\oplus 3=(2+3)\bmod4=5\bmod4=1.
Tabela (linhas = elemento da esquerda; colunas = elemento do topo):
\begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & 2 & 3\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}

Passo 5

Montagem da tabela para n=6.
Conjunto: \mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\}.
Exemplos de cálculo:
  • 4\oplus5=(4+5)\bmod6=9\bmod6=3.
  • 3\oplus4=(3+4)\bmod6=7\bmod6=1.
Tabela:
\begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2\\\\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}

Passo 6

Montagem da tabela para n=7.
Conjunto: \mathbb{Z}_7=\{0,1,2,3,4,5,6\}.
Exemplos de cálculo:
  • 3\oplus5=(3+5)\bmod7=8\bmod7=1.
  • 6\oplus6=(6+6)\bmod7=12\bmod7=5.
Tabela:
\begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2\\\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}

Resposta

\mathbb{Z}_4:
\begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & 2 & 3\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}
\mathbb{Z}_6:
\begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2\\\\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}
\mathbb{Z}_7:
\begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0\\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2\\\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}

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