Construa a tabela de operações para (
), quando
.
Passo 1
O enunciado pede: construir a tabela de operações (a tabela de adição, também chamada de tabela de Cayley) para o grupo
nos casos
,
e
.
Informações dadas e o que vamos usar:
- Para cada
a estrutura é . - A operação é a adição módulo
: ao somar dois elementos, se o resultado for maior ou igual a subtrai-se (ou equivalently toma-se o resto da divisão por ) para ficar no conjunto . - A tabela deve listar todas as somas
(reduzidas módulo ) para .
Passo 2
Explicando a operação de modo prático e bem didático.
Definição e como calcular uma entrada da tabela:
- Tome
. - Calcule
normalmente. - Se
, subtraia (ou subtraia até ficar entre e ); o resultado é . - Em notação curta, a operação é
.
Observações úteis para a prova:
- A operação é comutativa:
. Logo a tabela será simétrica em relação à diagonal. - A linha (ou coluna) do elemento
reproduz todos os elementos: .
Exemplo genérico: para
,
. Para
,
.
Passo 3
Como montar a tabela (procedimento prático, passo a passo):
- Liste os elementos
no topo (colunas) e na lateral (linhas). - Para cada célula na interseção da linha
e coluna , escreva . - Use a comutatividade para economizar tempo: calcule a metade e preencha a outra pela simetria, mas na prova pode ser mais seguro preencher linha a linha.
Agora vamos fazer isso explicitamente para cada
.
Passo 4
Montagem da tabela para
.
Conjunto:
.
Alguns exemplos de cálculo:
-
. -
.
Tabela (linhas = elemento da esquerda; colunas = elemento do topo):
Passo 5
Montagem da tabela para
.
Conjunto:
.
Exemplos de cálculo:
-
. -
.
Tabela:
Passo 6
Montagem da tabela para
.
Conjunto:
.
Exemplos de cálculo:
-
. -
.
Tabela: