Tendo sido medido o eixo maior de 9 grãos de quartzo de um corpo arenoso em uma lâmina de arenito, obteve-se um comprimento amostral médio de 1,5 \mathrm{~mm} e um desvio padrão de 0,3 \mathrm{~mm}. Deseja-se construir um intervalo de confiança para o comprimento médio dos grãos de quartzo do corpo arenoso.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra de tamanho n=9 grãos de quartzo, com média amostral \bar X=1,5 mm e desvio padrão amostral s=0,3 mm. Como o desvio padrão da população é desconhecido e n<30, vamos usar a distribuição t de Student para construir um intervalo de confiança para a média verdadeira \mu.

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança para \mu usando t é
\bar X \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
onde \alpha é o nível de significância e t_{\alpha/2,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Supondo que queiramos um intervalo de confiança de 95\%, temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Para n-1=8 graus de liberdade, o valor crítico é
t_{0,975,\,8}\approx2{,}306.

Passo 4

Calculamos o erro máximo (meia‐largura do intervalo)
E = t_{0,975,\,8}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =2{,}306\;\frac{0,3}{\sqrt{9}} =2{,}306\times0,1 \approx0{,}2306\text{ mm}.

Passo 5

Os limites do intervalo de confiança são
\bar X - E = 1,5 - 0,2306 \approx 1,2694\text{ mm},
\bar X + E = 1,5 + 0,2306 \approx 1,7306\text{ mm}.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o comprimento médio dos grãos de quartzo é aproximadamente
(1,27\;\mathrm{mm},\,1,73\;\mathrm{mm}).

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