Seja T a transformação linear definida em M_{2} tal que T(v)=A v, para v \in M_{2}, onde A=\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right]. Determine a dimensão e encontre uma base da imagem, determine a dimensão e encontre uma base do núcleo de T.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá, de forma bem clara.
  • Pedido 1: determinar a dimensão da imagem de T e encontrar uma base da imagem.
  • Pedido 2: determinar a dimensão do núcleo de T e encontrar uma base do núcleo.
  • Informação dada: T é a transformação linear definida por T(v)=A v para todo v em M_{2}. O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
  • Observação importante (informação necessária para resolver): como A é 2\times2 e atua em vetores coluna de duas coordenadas, o espaço de domínio e imagem natural aqui é \mathbb{R}^2 (ou seja, vetores coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}).
Agora que sabemos exatamente o que nos pediram e quais dados temos (a matriz A), vamos resolver passo a passo.]

Passo 2

Conceitos que vamos usar (com explicação didática): imagem, núcleo, colunas da matriz e teorema posto-nulidade.
  • A imagem de T (também chamada de espaço coluna de A) é o conjunto de todos os vetores da forma A v. Uma maneira prática de obter uma base para a imagem é olhar para as colunas de A: a imagem é o subespaço gerado pelas colunas de A. Cada coluna é A aplicada ao vetor canônico correspondente.
  • O núcleo de T é o conjunto dos vetores v tais que A v = 0. Para encontrá-lo resolvemos o sistema linear A v = 0.
  • Teorema posto-nulidade (rank-nullity): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,
\dim(\text{im }T)+\dim(\ker T)=\dim(\text{domínio})=2.í
Aqui \dim(\text{im }T) é o posto (rank) de A e \dim(\ker T) é a nulidade (nullity). Esse teorema nos ajuda a relacionar as dimensões depois de encontrarmos o posto.

Passo 3

Escrever explicitamente as colunas de A\) e verificar se são linearmente independentes (isso nos dá o posto). As colunas de \(A\) são \[c_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Para checar independência vetorial, suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha c_1+\beta c_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo as coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} 2\alpha+3\beta=0,\\[4pt] - \alpha +2\beta=0. \end{cases}
Resolve-se: da segunda equação vem \alpha=2\beta\]. Substituindo na primeira: \[2(2\beta)+3\beta=0 \;\Rightarrow\; 4\beta+3\beta=7\beta=0 \;\Rightarrow\; \beta=0.\] Com \(\beta=0 obtemos \alpha=0. Logo a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial \alpha=\beta=0. Portanto c_1 e c_2 são linearmente independentes.]

Passo 4

Conclusão sobre o posto e a imagem.
Como as duas colunas são linearmente independentes, o posto de A é 2. Portanto
\dim(\text{im }T)=2.
Um conjunto gerador de dimensão 2 em \mathbb{R}^2 que é formado por duas colunas independentes é uma base da imagem. Assim uma base natural para a imagem é
\left\{\,\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix}\,\right\}.
Além disso, como \dim(\text{im }T)=2 e o espaço alvo é \mathbb{R}^2, concluímos que \text{im }T=\mathbb{R}^2 (ou seja, T é sobrejetora).]

Passo 5

Encontrar o núcleo explicitamente e usar posto-nulidade.
Pelo teorema posto-nulidade,
\dim(\ker T)=2-\dim(\text{im }T)=2-2=0.
Uma subespaço de dimensão 0\) é apenas o subespaço nulo, ou seja \(\ker T=\{\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}\}\). Para confirmar, resolvemos explicitamente \(A v=0\). Escrevendo \(v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\), o sistema é \[\begin{cases} 2x+3y=0,\\[4pt] - x +2y=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=2y\]. Substituindo na primeira: \[2(2y)+3y=4y+3y=7y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0.\] Logo a única solução é \(x=y=0, isto é v=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Portanto o núcleo contém só o vetor zero. Uma base para o núcleo é o conjunto vazio \varnothing (convenção: o subespaço nulo tem dimensão 0 e base vazia).]

Passo 6

Resumo final, incentivo rápido: conseguimos achar a imagem (toda \mathbb{R}^2) e o núcleo (apenas o vetor zero). Boa — isso significa que T é um isomorfismo entre \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^2 porque é injetora e sobrejetora; é legal ver esses conceitos ligados!

Resposta

\dim(\text{im }T)=2, base da imagem: \displaystyle\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}
\dim(\ker T)=0, base do núcleo: \varnothing]

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