Se uma matriz quadrada A possui polinômio característico sem raízes reais, podemos garantir que ela não é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se uma matriz quadrada A possui polinômio característico sem raízes reais, podemos garantir que ela não é diagonalizável?”\n
Informações dadas:
Temos uma matriz quadrada A.
O polinômio característico de A não tem raízes reais (ou seja, todos os seus autovalores são complexos não reais, quando consideramos coeficientes reais).
O enunciado não especifica explicitamente sobre qual corpo estamos admitindo diagonalização (por exemplo, sobre os reais \mathbb{R} ou sobre os complexos \mathbb{C}).
O que nos pedem: decidir se, a partir da informação “polinômio característico sem raízes reais”, podemos garantir que A não é diagonalizável (e responder de forma precisa).
Passo 2
Primeira coisa importante: o que significa “diagonalizável”?\n
Definição (em linguagem simples): dizemos que uma matriz A é diagonalizável sobre um corpo F (por exemplo F=\mathbb{R} ou F=\mathbb{C}) se existe uma matriz invertível P com entradas em F e uma matriz diagonal D com entradas em F tais que
A = P D P^{-1}.
Nessa decomposição, as entradas da diagonal de D são autovalores de A (os autovalores pertencem ao corpo F em que estamos diagonalizando). Então, um ponto-chave: para diagonalizar sobre F precisamos que os autovalores estejam em F.
Passo 3
Caso 1 — trabalhar sobre o corpo \mathbb{R} (matrizes reais e diagonalização real).\n
Se A tem entradas reais e o polinômio característico não tem raízes reais, então A não tem autovalores em \mathbb{R}. Suponha, para contradizer, que A fosse diagonalizável sobre \mathbb{R}. Então existiría P invertível real e D diagonal real com
A = P D P^{-1}.
Mas as entradas da diagonal de D seriam autovalores reais de A. Isso contradiz a hipótese de que o polinômio característico não tem raízes reais. Logo, concluímos: se estamos exigindo diagonalização sobre \mathbb{R}, então a falta de raízes reais do polinômio característico garante que A não é diagonalizável (sobre \mathbb{R}).\n
Em palavras: não existe diagonalização real se não há autovalores reais, porque uma matriz diagonal real teria autovalores reais.
Passo 4
Caso 2 — trabalhar sobre o corpo \mathbb{C} (permitindo entradas complexas).\n
O corpo \mathbb{C} é alg. fechada, então o polinômio característico de A se fatoriza em fatores lineares sobre \mathbb{C}. Isso significa que todos os autovalores existem em \mathbb{C}. Porém, ter autovalores complexos não garante automaticamente diagonalizabilidade sobre \mathbb{C}. O critério correto é:\n
Teorema (critério prático): uma matriz A é diagonalizável sobre \mathbb{C} se e somente se o polinômio minimal de A se fatorar em fatores lineares distintos, isto é, se o polinômio minimal não tiver raízes múltiplas. Equivalentemente, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica.\n
Portanto, mesmo que o polinômio característico não tenha raízes reais (mas sim raízes complexas), A pode ser:
diagonalizável sobre \mathbb{C}, se os autovalores (complexos) forem suficientemente “simples” (por exemplo, todos distintos); ou
não diagonalizável sobre \mathbb{C}, se algum autovalor complexo aparecer com fator repetido no polinômio minimal (ou seja, houver blocos de Jordan de tamanho > 1).
Passo 5
Exemplo que mostra que a afirmação “não é diagonalizável” é falsa em geral (pode ser diagonalizável sobre \mathbb{C}).\n
Considere a matriz de rotação em \mathbb{R}^2
R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\chi_R(\lambda)=\lambda^2+1,
que não tem raízes reais. Assim, R não é diagonalizável sobre \mathbb{R} (pela razão do Passo 3). Mas sobre \mathbb{C} os autovalores são \lambda=i e \lambda=-i, dois autovalores distintos; por isso R é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Concretamente existe P\in GL_2(\mathbb{C}) tal que
P^{-1} R P = \begin{pmatrix} i & 0\\[4pt]0 & -i\end{pmatrix}.
Então aqui temos um caso em que o polinômio característico não tem raízes reais, mas R é diagonalizável (quando permitimos coeficientes complexos).]
Passo 6
Exemplo que mostra que a ausência de raízes reais não impede que a matriz seja não diagonalizável sobre \mathbb{C} também.\n
Considere o polinômio real
Por construção, a matriz C é real e tem \chi_C(\lambda)=p(\lambda). Além disso, para uma matriz companheira monica, o polinômio minimal coincide com o polinômio característico (ou seja, o polinômio minimal é p(\lambda)). Como p(\lambda) tem fator quadrado (\lambda^2+1)^2, o polinômio minimal tem fator repetido, logo C não é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Assim obtemos um exemplo concreto de matriz real cujo polinômio característico não tem raízes reais e que também não é diagonalizável sobre \mathbb{C}.]
Passo 7
Resumo e conclusão clara (linguagem amigável):\n
Se você fala em diagonalização sobre \mathbb{R}: sim, se o polinômio característico não tem raízes reais então a matriz NÃO pode ser diagonalizável sobre \mathbb{R}. Isso é imediato porque uma matriz diagonal real teria autovalores reais na diagonal.\n
Se você fala em diagonalização sobre \mathbb{C}: não, não dá para garantir que a matriz não seja diagonalizável. Ela pode ser diagonalizável (por exemplo, a matriz de rotação R acima) ou pode não ser diagonalizável (por exemplo, a matriz companheira do polinômio (\lambda^2+1)^2). A condição certa para diagonalizabilidade sobre \mathbb{C} é que o polinômio minimal não tenha raízes múltiplas (ou equivalentemente que, para cada autovalor, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica).
Resposta
Não necessariamente. Sobre \mathbb{R}: sim — se não há raízes reais então não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Sobre \mathbb{C}: não — pode ser diagonalizável (por exemplo a rotação \begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}) ou não ser (por exemplo a matriz companheira de (\lambda^2+1)^2).