Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
\operatorname{Se}|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|, então \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Se |\vec{u}| = |\vec{v}|, então \vec{u} = \vec{v}.
Informações dadas: somente que os vetores \vec{u} e \vec{v} têm a mesma norma (mesma magnitude / mesmo comprimento). A pergunta é se isso garante que os vetores sejam iguais.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa cada coisa, com calma e sem pressa.
Definição de norma (comprimento): para um vetor \vec{w}, |\vec{w}| é o comprimento de \vec{w}. Por exemplo, se \vec{w}=(w_1,w_2) em \mathbb{R}^2, então
|\vec{w}|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
Definição de igualdade de vetores: \vec{u}=\vec{v} significa que todos os componentes são iguais (ou geometricamente: mesmo ponto final a partir da mesma origem), ou equivalentemente
\vec{u}-\vec{v}=\vec{0}.
Ou seja, para dois vetores serem iguais é preciso que tenham mesma magnitude e mesma direção (e mesmo sentido).

Passo 3

Intuição geométrica: dizer que dois vetores têm a mesma norma é dizer que têm o mesmo comprimento. Mas vetores são objetos com comprimento e direção. Dois vetores podem ter igual comprimento e direções diferentes. Portanto, a igualdade de comprimentos por si só não parece suficiente para garantir igualdade dos vetores — provavelmente a afirmação é falsa. Para provar que uma afirmação do tipo “Se A então B” é falsa, basta dar um contraexemplo: encontrar \vec{u} e \vec{v} tais que |\vec{u}|=|\vec{v}| mas \vec{u}\neq\vec{v}.

Passo 4

Contraexemplo simples em \mathbb{R}^2: tome
\vec{u}=(1,0),\qquad \vec{v}=(-1,0).
Calcule as normas:
|\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=1,\qquad |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1.
Logo |\vec{u}|=|\vec{v}|. Mas
\vec{u}-\vec{v}=(1,0)-(-1,0)=(2,0)\neq\vec{0},
ou seja \vec{u}\neq\vec{v}. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Mais um exemplo para fixar a ideia (mostra que nem precisa ser oposto, pode ter direção perpendicular): tome
\vec{u}=(1,0),\qquad \vec{v}=(0,1).
Então
|\vec{u}|=1,\qquad |\vec{v}|=1,
logo |\vec{u}|=|\vec{v}|, porém \vec{u}\neq\vec{v}. Geometricamente: dois vetores de mesmo comprimento podem apontar em direções diferentes.

Passo 6

Argumento algébrico que esclarece por que a igualdade de normas não basta: se |\vec{u}|=|\vec{v}| então
|\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2\quad\Rightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}.
Subtraindo os dois lados,
\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=0
que pode ser reescrito como
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=0.
Isso diz que \vec{u}-\vec{v} é ortogonal a \vec{u}+\vec{v}. Mas vetores ortogonais não precisam ser o vetor nulo; portanto não se conclui que \vec{u}-\vec{v}=\vec{0}. A igualdade de normas apenas impõe essa condição de ortogonalidade, que é muito mais fraca do que exigir que os vetores sejam iguais.

Passo 7

Quando a implicação seria verdadeira? Se você também soubesse que \vec{u} e \vec{v} têm a mesma direção e o mesmo sentido (ou seja, são colineares com cos\fθ = 1), então igual norma implicaria igualdade. Por exemplo, se além de |\vec{u}|=|\vec{v}| soubermos que existe \lambda>0 tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}, então \lambda=1 e \vec{u}=\vec{v}. Outro caso óbvio: se |\vec{u}|=|\vec{v}|=0 (ambos nulos) então \vec{u}=\vec{v}=\vec{0}.

Passo 8

Resumo e incentivo: a ideia principal é não confundir comprimento com vetor inteiro — tamanho igual não garante direção igual. Contraexemplos simples bastam para derrubar a afirmação, e isso é normal quando a prova vem chegando e a tensão sobe: respirar fundo e pensar em um exemplo numérico costuma resolver rápido. Você está indo bem!

Resposta

Falsa.

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