Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
\operatorname{Se}|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|, então \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}.
\operatorname{Se}|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|, então \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Se
, então
.
Informações dadas: somente que os vetores
e
têm a mesma norma (mesma magnitude / mesmo comprimento). A pergunta é se isso garante que os vetores sejam iguais.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa cada coisa, com calma e sem pressa.
Definição de norma (comprimento): para um vetor
,
é o comprimento de
. Por exemplo, se
em
, então
Definição de igualdade de vetores:
significa que todos os componentes são iguais (ou geometricamente: mesmo ponto final a partir da mesma origem), ou equivalentemente
Ou seja, para dois vetores serem iguais é preciso que tenham mesma magnitude e mesma direção (e mesmo sentido).
Passo 3
Intuição geométrica: dizer que dois vetores têm a mesma norma é dizer que têm o mesmo comprimento. Mas vetores são objetos com comprimento e direção. Dois vetores podem ter igual comprimento e direções diferentes. Portanto, a igualdade de comprimentos por si só não parece suficiente para garantir igualdade dos vetores — provavelmente a afirmação é falsa. Para provar que uma afirmação do tipo “Se A então B” é falsa, basta dar um contraexemplo: encontrar
e
tais que
mas
.
Passo 4
Contraexemplo simples em
: tome
Calcule as normas:
Logo
. Mas
ou seja
. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
Mais um exemplo para fixar a ideia (mostra que nem precisa ser oposto, pode ter direção perpendicular): tome
Então
logo
, porém
. Geometricamente: dois vetores de mesmo comprimento podem apontar em direções diferentes.
Passo 6
Argumento algébrico que esclarece por que a igualdade de normas não basta: se
então
Subtraindo os dois lados,
que pode ser reescrito como
Isso diz que
é ortogonal a
. Mas vetores ortogonais não precisam ser o vetor nulo; portanto não se conclui que
. A igualdade de normas apenas impõe essa condição de ortogonalidade, que é muito mais fraca do que exigir que os vetores sejam iguais.
Passo 7
Quando a implicação seria verdadeira? Se você também soubesse que
e
têm a mesma direção e o mesmo sentido (ou seja, são colineares com cos\fθ = 1), então igual norma implicaria igualdade. Por exemplo, se além de
soubermos que existe
tal que
, então
e
. Outro caso óbvio: se
(ambos nulos) então
.
Passo 8
Resumo e incentivo: a ideia principal é não confundir comprimento com vetor inteiro — tamanho igual não garante direção igual. Contraexemplos simples bastam para derrubar a afirmação, e isso é normal quando a prova vem chegando e a tensão sobe: respirar fundo e pensar em um exemplo numérico costuma resolver rápido. Você está indo bem!
Resposta
Falsa.