(3,0) Considere a equação diferencial y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+x, com condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2.
1.1. Determine uma expressão para y^{\prime \prime \prime}, em função de x, y, y^{\prime} e y^{\prime \prime}.
y^{\prime \prime \prime}=2 y \cdot y^{\prime} \cdot y^{\prime}+y^{2} \cdot y^{\prime \prime \prime}+1-y^{\prime \prime \prime}=2 y\left(y^{\prime}\right)^{2}+y^{2} y^{\prime \prime}+1
Resposta: y^{\prime \prime \prime}= \_\_\_\_ 2 y\left(y^{\prime}\right)^{2}+y^{2} y^{\prime \prime}+1
1.2. Determine os valores de y^{\prime \prime}(0) e y^{\prime \prime \prime}(0).
\begin{aligned} & y^{\prime \prime \prime}(0)=2 y(0) \cdot\left(y^{\prime}(0)\right)^{2}+y^{2}(0) \cdot y^{\prime \prime}(0) \rightarrow 2 \cdot 1 \cdot(4)+4 \cdot 2=10+1=11 \\\ & y^{\prime \prime}(0)=y^{2}(0) \cdot y^{\prime}(0)+0 \rightarrow y^{\prime \prime}(0)=1 \cdot 2=2 \end{aligned}
Resposta: y^{\prime \prime}(0)= \_\_\_\_ 2
y^{\prime \prime \prime}(0)=14
1.3. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da solução em série de potências para o problema de valor inicial, com condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2.
y(x)=y(x) \cdot y^{\prime}(x) \cdot x+\frac{y^{4} x^{2}}{2}+\frac{y^{\prime \prime \prime} x^{3}}{3!}
y(x)=1+2 x+x^{2}+\frac{11 x^{3}}{6}
Resposta: y= \_\_\_\_ y(x)=1+2 x+x^{2}+11 / 6 x^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Enunciado: Seja a equação diferencial
y'' = y^{2}\,y' + x,
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
  • Perguntas:
    1.1. Determinar uma expressão para \,y^{\prime\prime\prime}\, em função de x,y,y',y''.
    1.2. Determinar os valores de \,y''(0) e \,y^{\prime\prime\prime}(0).
    1.3. Encontrar os quatro primeiros termos não nulos da solução em série de potências (centro em 0).
  • Informações úteis retiradas do enunciado: a própria equação diferencial \,y''=y^{2}y'+x\, e as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y'(0)=2.

Passo 2

Objetivo do passo: obter \,y^{\prime\prime\prime} derivando a equação dada. Regra que vamos usar: para derivar uma igualdade, derivamos ambos os lados em relação a x. Derivada do lado direito será a derivada de y^{2}y' mais a derivada de x.
Escrevendo:
y'''=\frac{d}{dx}\big(y^{2}y'\big)+\frac{d}{dx}(x).

Passo 3

Explicação da derivada de \,y^{2}y': trata-se de um produto de duas funções de x: u(x)=y^{2}(x) e v(x)=y'(x). A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}(u v)=u'v+u v'.
Aqui u'= \frac{d}{dx}(y^{2}). Para \frac{d}{dx}(y^{2}) usamos a regra da cadeia (ou produto): \frac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y'. Assim,
\frac{d}{dx}\big(y^{2}y'\big)=(2y\,y')\cdot y' + y^{2}\cdot y''.

Passo 4

Continuando e somando a derivada de x que é 1, obtemos:
y'''=2y\,(y')^{2}+y^{2}y''+1.
Esta é a expressão pedida para \,y^{\prime\prime\prime} em função de x,y,y',y''.

Passo 5

Agora calculamos \,y''(0) usando a equação original. A equação
y''=y^{2}y'+x
avaliada em x=0
y''(0)=y^{2}(0)\,y'(0)+0.
Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2:
y''(0)=1^{2}\cdot 2 = 2.

Passo 6

Calculamos \,y^{\prime\prime\prime}(0) usando a expressão obtida no Passo 4:
y'''(0)=2y(0)\,(y'(0))^{2}+y^{2}(0)\,y''(0)+1.
Agora substituímos y(0)=1, y'(0)=2 e o valor que acabamos de achar y''(0)=2:
y'''(0)=2\cdot 1\cdot (2)^{2} + 1^{2}\cdot 2 + 1 = 2\cdot 4 + 2 + 1 = 8+2+1 = 11.

Passo 7

Queremos os quatro primeiros termos não nulos da série de potências de y em torno de 0. Usamos a fórmula de Taylor (série de Maclaurin) até a ordem 3:
y(x)=y(0)+y'(0)\,x+\frac{y''(0)}{2!}\,x^{2}+\frac{y'''(0)}{3!}\,x^{3}+\cdots
Explico rápido: o coeficiente de x^{n} é \dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}. Já temos y(0),y'(0),y''(0),y'''(0).

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
y(0)=1,\qquad y'(0)=2,\qquad y''(0)=2,\qquad y'''(0)=11,
temos
y(x)=1 + 2x + \frac{2}{2}\,x^{2} + \frac{11}{6}\,x^{3} + \cdots
Simplificando o termo de x^{2}:
y(x)=1 + 2x + x^{2} + \frac{11}{6}\,x^{3} + \cdots
Esses são os quatro primeiros termos não nulos da solução em série.

Resposta

y'''=2y\,(y')^{2}+y^{2}y''+1
y''(0)=2
y'''(0)=11
y(x)=1+2x+x^{2}+\dfrac{11}{6}x^{3}

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