Considere a equação diferencial
, com condições iniciais
e
.
1.1. Determine uma expressão para
, em função de
e
.
Resposta:
1.2. Determine os valores de
e
.
Resposta:
2
1.3. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da solução em série de potências para o problema de valor inicial, com condições iniciais
e
.
Resposta:
1.1. Determine uma expressão para
1.2. Determine os valores de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Enunciado: Seja a equação diferencial
com condições iniciais
-
Perguntas:
1.1. Determinar uma expressão paraem função de .
1.2. Determinar os valores dee .
1.3. Encontrar os quatro primeiros termos não nulos da solução em série de potências (centro em). -
Informações úteis retiradas do enunciado: a própria equação diferencial
e as condições iniciais e .
Passo 2
Objetivo do passo: obter
derivando a equação dada. Regra que vamos usar: para derivar uma igualdade, derivamos ambos os lados em relação a
. Derivada do lado direito será a derivada de
mais a derivada de
.
Escrevendo:
Passo 3
Explicação da derivada de
: trata-se de um produto de duas funções de
:
e
. A regra do produto diz que
Aqui
. Para
usamos a regra da cadeia (ou produto):
. Assim,
Passo 4
Continuando e somando a derivada de
que é
, obtemos:
Esta é a expressão pedida para
em função de
.
Passo 5
Agora calculamos
usando a equação original. A equação
avaliada em
dá
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 6
Calculamos
usando a expressão obtida no Passo 4:
Agora substituímos
,
e o valor que acabamos de achar
:
Passo 7
Queremos os quatro primeiros termos não nulos da série de potências de
em torno de
. Usamos a fórmula de Taylor (série de Maclaurin) até a ordem
:
Explico rápido: o coeficiente de
é
. Já temos
.
Passo 8
Substituindo os valores conhecidos:
temos
Simplificando o termo de
:
Esses são os quatro primeiros termos não nulos da solução em série.