(2,5 pontos) Calcule ∂f/∂s, se f(x, y, z) = x^2 - 3y + 2xz e x = w, y = w + v e z = u - w^2
Passo 1
O enunciado pede: Calcule
dado que
e as relações
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função
está em variáveis . -
são expressas em termos de . - O enunciado pede a derivada parcial em relação a uma variável chamada
.
Observação importante: não há nenhuma definição deentre as relações dadas; aparecem apenas . Como não posso pedir esclarecimento, vou assumir que a intenção era pedir a derivada em relação a (isto é, que ), pois é a variável presente nas três relações e esse é um pedido típico nesse tipo de exercício. Se você tinha em mente outra coisa (por exemplo ou ), me avisa depois, mas por agora vou seguir com .
Passo 2
Conceito que vamos usar: Regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
- Quando temos uma função
e as variáveis dependem de outras variáveis (aqui ), para calcular a derivada parcial de em relação a uma dessas variáveis (aqui ) usamos a regra da cadeia:
- O que isso significa, em palavras simples: pequenas variações em
alteram através de como muda , e . Então somamos os efeitos de sobre , multiplicados por quanto muda quando muda, e idem para e . - Nota técnica: ao usar a fórmula, todas as derivadas parciais de
em relação a devem ser avaliadas nas expressões — isto é, substituir , , depois de derivar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(tratando
como variáveis independentes).
- Relembrando
. - Derivada parcial em relação a
:
Explicando cada termo:
-
(regra do poder). -
porque é tratada como constante ao derivar em . -
porque é constante no derivar em e a derivada de é .
Portanto,
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui apenas o termo
depende de
, então
- Derivada parcial em relação a
:
Apenas
depende de
, e sua derivada é
. Logo
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
usando as relações fornecidas.
- Temos
. Então
Explicação: a derivada de
em relação a
é 1.
- Temos
. Ao derivar em relação a , é tratado como constante, portanto
- Temos
. Ao derivar em relação a , é constante, então
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia substituindo as derivadas encontradas e avaliando
em função de
.
- A fórmula da regra da cadeia (repetindo):
- Substituindo
, , e , , , obtemos
- Agora devemos avaliar
e pelas suas expressões em : e . Substituindo: - Primeiro termo:
- Terceiro termo:
- Primeiro termo:
- Então
- Agrupando termos semelhantes (ordenando por potências de
): - Termos em
: . - Termo em
: . - Termo em
: . - Constante:
.
Portanto
- Termos em
Passo 6
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia (bem simples):
- Suponha
com e . Queremos . -
, . -
, . - Pela regra da cadeia:
Isso mostra o mesmo raciocínio usado acima: derivar
em
e multiplicar pelas derivadas de
em
, avaliando depois nas expressões em
.