(2,5 pontos) Calcule ∂f/∂s, se f(x, y, z) = x^2 - 3y + 2xz e x = w, y = w + v e z = u - w^2

Passo 1

O enunciado pede: Calcule \partial f/\partial s dado que
f(x,y,z)=x^{2}-3y+2xz
e as relações
x=w,\quad y=w+v,\quad z=u-w^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função f está em variáveis x,y,z.
  • x,y,z são expressas em termos de u,v,w.
  • O enunciado pede a derivada parcial em relação a uma variável chamada s.
    Observação importante: não há nenhuma definição de s entre as relações dadas; aparecem apenas u,v,w. Como não posso pedir esclarecimento, vou assumir que a intenção era pedir a derivada em relação a w (isto é, que s=w), pois w é a variável presente nas três relações e esse é um pedido típico nesse tipo de exercício. Se você tinha em mente outra coisa (por exemplo s=u ou s=v), me avisa depois, mas por agora vou seguir com s=w.

Passo 2

Conceito que vamos usar: Regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
  • Quando temos uma função f(x,y,z) e as variáveis x,y,z dependem de outras variáveis (aqui u,v,w), para calcular a derivada parcial de f em relação a uma dessas variáveis (aqui w) usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}.
  • O que isso significa, em palavras simples: pequenas variações em w alteram f através de como w muda x, y e z. Então somamos os efeitos de w sobre x, multiplicados por quanto f muda quando x muda, e idem para y e z.
  • Nota técnica: ao usar a fórmula, todas as derivadas parciais de f em relação a x,y,z devem ser avaliadas nas expressões x(w,v,u),y(w,v,u),z(w,v,u) — isto é, substituir x=w, y=w+v, z=u-w^{2} depois de derivar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f em relação a x,y,z (tratando x,y,z como variáveis independentes).
  • Relembrando f(x,y,z)=x^{2}-3y+2xz.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(-3y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(2xz\big).
Explicando cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x (regra do poder).
  • \frac{\partial}{\partial x}(-3y) = 0 porque y é tratada como constante ao derivar em x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(2xz) = 2z porque z é constante no derivar em x e a derivada de x é 1.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2z.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(-3y) + \frac{\partial}{\partial y}(2xz).
Aqui apenas o termo -3y depende de y, então
\frac{\partial f}{\partial y} = -3.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial z}(-3y) + \frac{\partial}{\partial z}(2xz).
Apenas 2xz depende de z, e sua derivada é 2x. Logo
\frac{\partial f}{\partial z} = 2x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a w usando as relações fornecidas.
  • Temos \displaystyle x=w. Então
\frac{\partial x}{\partial w}=1.
Explicação: a derivada de w em relação a w é 1.
  • Temos \displaystyle y=w+v. Ao derivar em relação a w, v é tratado como constante, portanto
\frac{\partial y}{\partial w}=1.
  • Temos \displaystyle z=u-w^{2}. Ao derivar em relação a w, u é constante, então
\frac{\partial z}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w}(u) - \frac{\partial}{\partial w}(w^{2}) = 0 - 2w = -2w.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia substituindo as derivadas encontradas e avaliando x,y,z em função de u,v,w.
  • A fórmula da regra da cadeia (repetindo):
\frac{\partial f}{\partial w} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}.
  • Substituindo \frac{\partial f}{\partial x}=2x+2z, \frac{\partial f}{\partial y}=-3, \frac{\partial f}{\partial z}=2x e \frac{\partial x}{\partial w}=1, \frac{\partial y}{\partial w}=1, \frac{\partial z}{\partial w}=-2w, obtemos
\frac{\partial f}{\partial w} = (2x+2z)\cdot 1 + (-3)\cdot 1 + (2x)\cdot(-2w).
  • Agora devemos avaliar x e z pelas suas expressões em u,v,w: x=w e z=u-w^{2}. Substituindo:
    • Primeiro termo: 2x+2z = 2w + 2(u - w^{2}) = 2w + 2u - 2w^{2}.
    • Terceiro termo: (2x)(-2w) = 2w\cdot(-2w) = -4w^{2}.
  • Então
\frac{\partial f}{\partial w} = \big(2w + 2u - 2w^{2}\big) - 3 - 4w^{2}.
  • Agrupando termos semelhantes (ordenando por potências de w):
    • Termos em w^{2}: -2w^{2} - 4w^{2} = -6w^{2}.
    • Termo em w: 2w.
    • Termo em u: 2u.
    • Constante: -3.
      Portanto
\frac{\partial f}{\partial w} = -6w^{2} + 2w + 2u - 3.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia (bem simples):
  • Suponha g(x,y)=xy com x=s+t e y=s^{2}. Queremos \partial g/\partial s.
  • \partial g/\partial x = y, \partial g/\partial y = x.
  • \partial x/\partial s = 1, \partial y/\partial s = 2s.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial s} = y\cdot 1 + x\cdot 2s = s^{2} + (s+t)\cdot 2s.
Isso mostra o mesmo raciocínio usado acima: derivar g em x,y e multiplicar pelas derivadas de x,y em s, avaliando depois nas expressões em s,t.

Resposta

-6w^{2} + 2w + 2u - 3

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