Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
\operatorname{Se} \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{Se } \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, \text{ então } |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|.ã
Informações dadas: sabemos apenas que \overrightarrow{\mathrm{u}} é igual a \overrightarrow{\mathrm{v}}. A pergunta é: essa igualdade entre vetores implica que os módulos (comprimentos) também são iguais?

Passo 2

Entenda claramente o que significa \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}. Em espaço euclidiano (por exemplo \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3), escrever
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(u_1,u_2,\dots,u_n),\qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=(v_1,v_2,\dots,v_n)
e afirmar \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}} significa que, componente a componente,
u_1=v_1,\; u_2=v_2,\; \dots,\; u_n=v_n.
Ou seja, são exatamente o mesmo vetor (mesmo ponto de extremidade, mesma direção e sentido e mesmo comprimento).

Passo 3

Agora relembre a definição de módulo (norma) de um vetor. Para um vetor em \mathbb{R}^n,
|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+\cdots+u_n^{2}}.
Aqui cada u_i é a i-ésima componente de \overrightarrow{\mathrm{u}}. O módulo é simplesmente o comprimento do vetor, calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras generalizado).

Passo 4

Use a igualdade componente a componente para comparar os módulos. Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então para todo i vale u_i=v_i. Portanto
|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=\sqrt{u_1^{2}+\cdots+u_n^{2}}=\sqrt{v_1^{2}+\cdots+v_n^{2}}=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|.
Cada termo da soma sob a raiz é igual porque u_i^2=v_i^2 quando u_i=v_i. Logo os módulos coincidem.

Passo 5

Interpretação funcional e geométrica curta (para fixar): o módulo é uma função que associa a cada vetor um número (o seu comprimento). Se duas entradas da função são idênticas (mesmo vetor), a função dá o mesmo valor. Geometricamente, vetores idênticos representam a mesma seta no espaço — portanto têm o mesmo comprimento.
Observação útil para evitar confusão: o recíproco não é necessariamente verdadeiro — ter módulos iguais não garante vetores iguais. Exemplo simples em \mathbb{R}^2: \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,0) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-1,0) têm |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=1 e |\overrightarrow{\mathrm{v}}|=1, mas \overrightarrow{\mathrm{u}}\neq\overrightarrow{\mathrm{v}} (são sentidos opostos). Isso só reforça que igualdade de vetores implica igualdade de módulos, mas igualdade de módulos não implica igualdade de vetores.

Resposta

Verdadeira.

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