Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
\operatorname{Se} \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|
\operatorname{Se} \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas: sabemos apenas que
é igual a
. A pergunta é: essa igualdade entre vetores implica que os módulos (comprimentos) também são iguais?
Passo 2
Entenda claramente o que significa
. Em espaço euclidiano (por exemplo
ou
), escrever
e afirmar
significa que, componente a componente,
Ou seja, são exatamente o mesmo vetor (mesmo ponto de extremidade, mesma direção e sentido e mesmo comprimento).
Passo 3
Agora relembre a definição de módulo (norma) de um vetor. Para um vetor em
,
Aqui cada
é a
-ésima componente de
. O módulo é simplesmente o comprimento do vetor, calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras generalizado).
Passo 4
Use a igualdade componente a componente para comparar os módulos. Se
, então para todo
vale
. Portanto
Cada termo da soma sob a raiz é igual porque
quando
. Logo os módulos coincidem.
Passo 5
Interpretação funcional e geométrica curta (para fixar): o módulo é uma função que associa a cada vetor um número (o seu comprimento). Se duas entradas da função são idênticas (mesmo vetor), a função dá o mesmo valor. Geometricamente, vetores idênticos representam a mesma seta no espaço — portanto têm o mesmo comprimento.
Observação útil para evitar confusão: o recíproco não é necessariamente verdadeiro — ter módulos iguais não garante vetores iguais. Exemplo simples em
:
e
têm
e
, mas
(são sentidos opostos). Isso só reforça que igualdade de vetores implica igualdade de módulos, mas igualdade de módulos não implica igualdade de vetores.
Resposta
Verdadeira.