- Dado o polinômio
:
(a) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais positivas ele possui?
(b) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais negativas ele possui?
(c) Execute duas iterações do método de Newton para encontrar uma das raízes de
usando
. Justifique sua escolha para a aproximação inicial
.
(a) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais positivas ele possui?
(b) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais negativas ele possui?
(c) Execute duas iterações do método de Newton para encontrar uma das raízes de
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede três coisas:
- (a) usando a regra de Descartes, quantas raízes reais positivas
pode ter; - (b) usando a regra de Descartes, quantas raízes reais negativas
pode ter; - (c) executar duas iterações do método de Newton para encontrar UMA das raízes de
, usando , e justificar a escolha de .
As informações relevantes são os coeficientes do polinómio (ordem decrescente):
.
Passo 2
Explicação da regra de Descartes (didática curta e prática).
- A regra de Descartes diz: o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal entre coeficientes quando o polinómio está escrito em ordem decrescente de potências, ou é menor do que esse número por um inteiro par (2, 4, …).
- Para aplicar, olha-se a sequência de sinais dos coeficientes.
Aplicação ao polinómio para contar raízes positivas:
- Coeficientes (ordem decrescente):
. Sequência de sinais: . - Contagem de mudanças de sinal: de
para é 1, de para é 1, de para é 0. Total de mudanças = .
Conclusão pelo método: o número de raízes reais positivas é igual a
ou a
. Portanto as possibilidades são: ou existem duas raízes reais positivas (contando multiplicidade) ou nenhuma.
Passo 3
Contagem de raízes negativas (procedimento e aplicação).
- Para contar raízes negativas, aplicamos a regra de Descartes a
. - Calcula-se
:
- Coeficientes de
: . Sequência de sinais: . - Mudanças de sinal: só há uma mudança, de
para . Logo há exatamente mudança de sinal.
Conclusão pelo método: o número de raízes reais negativas é
(não há redução possível por 2 porque
seria negativo). Portanto existe exatamente uma raiz real negativa.
Passo 4
Preparação para usar o método de Newton (explicação do método e cálculo da derivada).
- O método de Newton para aproximar uma raiz de uma função
usa a iteração
- Aqui
. É preciso a derivada . Calcula-se:
- Critério de paragem pedido:
. Uma maneira prática de usar é verificar se (diferença entre iterações). Aqui vamos executar duas iterações e verificar esse critério após a segunda iteração.
Passo 5
Justificação da escolha da aproximação inicial
.
- Já sabemos que existe uma única raiz negativa; vamos aproximá‑la. Para localizar grossamente a raiz negative, avaliamos
em alguns pontos:
- Como
e , por Bolzano há pelo menos uma raiz em . Isso confirma a existência da raiz negativa e que ela está entre e . - Para um bom
escolha-se um ponto próximo ao sinal trocado onde a função seja relativamente pequena para acelerar a convergência. Avaliando mais:
- Como
já é pequeno ( ) e está dentro do intervalo , escolhemos
como aproximação inicial: é simples, está próximo da raiz e dá valor de
pequeno, o que normalmente garante boa convergência do método de Newton.
Passo 6
Primeira iteração do método de Newton (cálculos passo a passo).
- Avaliar
e para :
- Aplica-se a fórmula de Newton:
Passo 7
Segunda iteração do método de Newton (cálculos passo a passo).
- Avaliar
e para . - Usando avaliação polinomial (Horner ou expansão direta) obtém-se, com arredondamento:
- Atualiza-se:
- Calcule o quociente:
- Portanto
- Verificação do critério com
:
portanto depois de duas iterações a diferença entre iterações já é menor que
.
Passo 8
Interpretação final das iterações e resumo didático curto.
- Em duas iterações, partindo de
, obtivemos aproximações:
- A diferença entre
e é menor que , logo atingiu‑se o critério pedido (pela métrica usada). Assim uma aproximação da raiz negativa encontrada é (com precisão compatível ao critério).
Resposta
(a)
ou
raízes reais positivas (pela regra de Descartes há 2 mudanças de sinal, logo 2 ou 0).
(b) raiz real negativa.
(c) Escolha (justificativa: sinal de
troca entre
e
e
já é pequeno). Duas iterações de Newton dão
e , portanto a aproximação final (após duas iterações) é
.
(b)
(c) Escolha
e