1. Dado o polinômio p(x)=-x^{3}+2 x^{2}-3 x-7 :
    (a) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais positivas ele possui?
    (b) Usando a regra de Descartes, quantas raízes reais negativas ele possui?
    (c) Execute duas iterações do método de Newton para encontrar uma das raízes de p(x) usando \varepsilon=10^{-4}. Justifique sua escolha para a aproximação inicial x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x) = -x^{3} + 2x^{2} - 3x - 7
e pede três coisas:
  • (a) usando a regra de Descartes, quantas raízes reais positivas p pode ter;
  • (b) usando a regra de Descartes, quantas raízes reais negativas p pode ter;
  • (c) executar duas iterações do método de Newton para encontrar UMA das raízes de p(x), usando \varepsilon=10^{-4}, e justificar a escolha de x_{0}.
As informações relevantes são os coeficientes do polinómio (ordem decrescente): -1,\,2,\,-3,\,-7.

Passo 2

Explicação da regra de Descartes (didática curta e prática).
  • A regra de Descartes diz: o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal entre coeficientes quando o polinómio está escrito em ordem decrescente de potências, ou é menor do que esse número por um inteiro par (2, 4, …).
  • Para aplicar, olha-se a sequência de sinais dos coeficientes.
Aplicação ao polinómio para contar raízes positivas:
  • Coeficientes (ordem decrescente): -1,\;2,\;-3,\;-7. Sequência de sinais: -,\;+\;,\;-\;,\;-.
  • Contagem de mudanças de sinal: de - para + é 1, de + para - é 1, de - para - é 0. Total de mudanças = 2.
Conclusão pelo método: o número de raízes reais positivas é igual a 2 ou a 2-2=0. Portanto as possibilidades são: ou existem duas raízes reais positivas (contando multiplicidade) ou nenhuma.

Passo 3

Contagem de raízes negativas (procedimento e aplicação).
  • Para contar raízes negativas, aplicamos a regra de Descartes a p(-x).
  • Calcula-se p(-x):
p(-x) = -(-x)^{3} + 2(-x)^{2} - 3(-x) - 7 = x^{3} + 2x^{2} + 3x - 7.
  • Coeficientes de p(-x): 1,\;2,\;3,\;-7. Sequência de sinais: +,\;+,\;+,\;-.
  • Mudanças de sinal: só há uma mudança, de + para -. Logo há exatamente 1 mudança de sinal.
Conclusão pelo método: o número de raízes reais negativas é 1 (não há redução possível por 2 porque 1-2 seria negativo). Portanto existe exatamente uma raiz real negativa.

Passo 4

Preparação para usar o método de Newton (explicação do método e cálculo da derivada).
  • O método de Newton para aproximar uma raiz de uma função f(x) usa a iteração
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui f(x)=p(x). É preciso a derivada p'(x). Calcula-se:
p'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+2x^{2}-3x-7\bigr) = -3x^{2}+4x-3.
  • Critério de paragem pedido: \varepsilon = 10^{-4}. Uma maneira prática de usar \varepsilon é verificar se |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon (diferença entre iterações). Aqui vamos executar duas iterações e verificar esse critério após a segunda iteração.

Passo 5

Justificação da escolha da aproximação inicial x_{0}.
  • Já sabemos que existe uma única raiz negativa; vamos aproximá‑la. Para localizar grossamente a raiz negative, avaliamos p em alguns pontos:
p(0) = -7\quad(\text{negativo}),
p(-1)= -(-1)^{3} + 2(1) -3(-1) -7 = 1+2+3-7 = -1\quad(\text{negativo}),
p(-2)= -(-8) + 2(4) -3(-2) -7 = 8+8+6-7 = 15\quad(\text{positivo}).
  • Como p(-2)>0 e p(-1)<0, por Bolzano há pelo menos uma raiz em [-2,-1]. Isso confirma a existência da raiz negativa e que ela está entre -2 e -1.
  • Para um bom x_{0} escolha-se um ponto próximo ao sinal trocado onde a função seja relativamente pequena para acelerar a convergência. Avaliando mais:
p(-1{,}1) = -(-1{,}1)^{3} + 2(1{,}21) -3(-1{,}1) -7 = 1{,}331 + 2{,}42 + 3{,}3 -7 = 0{,}051.
  • Como p(-1{,}1) já é pequeno ( \approx 5{,}1\times 10^{-2}) e -1{,}1 está dentro do intervalo [-2,-1], escolhemos
x_{0} = -1{,}1
como aproximação inicial: é simples, está próximo da raiz e dá valor de p pequeno, o que normalmente garante boa convergência do método de Newton.

Passo 6

Primeira iteração do método de Newton (cálculos passo a passo).
  • Avaliar p(x_{0}) e p'(x_{0}) para x_{0}=-1{,}1:
p(-1{,}1)=0{,}051\quad(\text{calculado acima}),
p'(-1{,}1) = -3(-1{,}1)^{2} + 4(-1{,}1) -3 = -3(1{,}21) -4{,}4 -3 = -3{,}63 -4{,}4 -3 = -11{,}03.
  • Aplica-se a fórmula de Newton:
x_{1} = x_{0} - \frac{p(x_{0})}{p'(x_{0})} = -1{,}1 - \frac{0{,}051}{-11{,}03} = -1{,}1 + 0{,}004624431\ldots
x_{1} \approx -1{,}095375569.

Passo 7

Segunda iteração do método de Newton (cálculos passo a passo).
  • Avaliar p(x_{1}) e p'(x_{1}) para x_{1}\approx -1{,}095375569.
    • Usando avaliação polinomial (Horner ou expansão direta) obtém-se, com arredondamento:
    p(x_{1}) \approx -0{,}00032329\quad(\text{aprox. }-3{,}2329\times 10^{-4}),
p'(x_{1}) \approx -10{,}98105.
  • Atualiza-se:
x_{2} = x_{1} - \frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})} = -1{,}095375569 - \frac{-0{,}00032329}{-10{,}98105}.
  • Calcule o quociente:
\frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})} \approx \frac{-0{,}00032329}{-10{,}98105} \approx 2{,}9435\times 10^{-5}.
  • Portanto
x_{2} \approx -1{,}095375569 - 0{,}000029435 = -1{,}095405004.
  • Verificação do critério com \varepsilon=10^{-4}:
|x_{2}-x_{1}| \approx 2{,}9435\times 10^{-5} < 10^{-4},
portanto depois de duas iterações a diferença entre iterações já é menor que \varepsilon.

Passo 8

Interpretação final das iterações e resumo didático curto.
  • Em duas iterações, partindo de x_{0}=-1{,}1, obtivemos aproximações:
x_{1} \approx -1{,}095375569,\qquad x_{2} \approx -1{,}095405004.
  • A diferença entre x_{2} e x_{1} é menor que \varepsilon=10^{-4}, logo atingiu‑se o critério pedido (pela métrica usada). Assim uma aproximação da raiz negativa encontrada é x\approx -1{,}095405 (com precisão compatível ao critério).

Resposta

(a) 2 ou 0 raízes reais positivas (pela regra de Descartes há 2 mudanças de sinal, logo 2 ou 0).
(b) 1 raiz real negativa.
(c) Escolha x_{0}=-1{,}1 (justificativa: sinal de p troca entre -2 e -1 e p(-1{,}1) já é pequeno). Duas iterações de Newton dão
x_{1}\approx -1{,}095375569
x_{2}\approx -1{,}095405004
e |x_{2}-x_{1}|\approx 2{,}94\times 10^{-5}<10^{-4}, portanto a aproximação final (após duas iterações) é x\approx -1{,}095405004.

Exercícios relacionados