Determine uma equação para o plano gerado pelos vetores u=(-1,1,1) e v= (3,4,4).
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar uma equação para o plano gerado pelos vetores \mathbf{u}=(-1,1,1) e \mathbf{v}=(3,4,4).”
Informações dadas:
\mathbf{u}=(-1,1,1).
\mathbf{v}=(3,4,4).
O plano é o conjunto de todas as combinações lineares de \mathbf{u} e \mathbf{v} (logo passa pela origem).
O que se quer:
Uma equação do tipo implícita (forma ax+by+cz+d=0 ou equivalente) que descreva o conjunto de pontos (x,y,z) pertencentes ao plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Passo 2
Entendendo o que significa "plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}":
Um ponto qualquer (x,y,z) do plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v} pode ser escrito como combinação linear
(x,y,z)=s\,\mathbf{u}+t\,\mathbf{v},
onde s,t\in\mathbb{R}. Isto é a forma paramétrica do plano (passando pela origem).
Explicando de forma bem prática: escolher s e t dá um ponto do plano; variando s e t varre todo o plano.
Passo 3
Escrevendo as componentes em função de s e t:
(x,y,z)=s(-1,1,1)+t(3,4,4).
Então, compondo coordenada a coordenada,
x = -s + 3t,
y = s + 4t,
z = s + 4t.
Observe com calma: as expressões para y e para z são idênticas (y=s+4t e z=s+4t). Isso já dá uma pista forte sobre a equação do plano.
Passo 4
Usando a observação das expressões paramétricas para eliminar s e t e obter uma equação implícita:
Como y = s + 4t e z = s + 4t, subtraindo as duas igualdades obtemos uma relação direta entre as coordenadas y e z. Portanto há uma dependência simples entre y e z que descreve o plano.
(Isto mostra o método de eliminação: traduzir a forma paramétrica em relações entre x,y,z sem os parâmetros.)
Passo 5
Interpretando a relação entre y e z:
Da igualdade y = s + 4t e z = s + 4t segue diretamente que
y = z.
Esse é já um enunciado implícito simples: todos os pontos do plano satisfazem y=z. Em outras palavras, o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=z\} contém \mathbf{u} e \mathbf{v} e, por ser um plano de dimensão 2 passando pela origem, é exatamente o plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Passo 6
Método alternativo (padrão do livro): encontrar um vetor normal ao plano via produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v} e escrever a equação \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=0.
Explicando o que é o produto vetorial e por que funciona:
O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular (normal) ao plano determinado por eles.
Se \mathbf{n} é normal ao plano que passa pela origem, então todo ponto (x,y,z) do plano satisfaz \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=0.
Passo 7
Calculemos \mathbf{u}\times\mathbf{v} passo a passo (usando a matriz 3×3 de determinante):
Podemos simplificar dividindo por 7 se quisermos um normal mais simples:
\mathbf{n}=(0,1,-1).
Passo 8
Usando o vetor normal \mathbf{n}=(0,1,-1), a equação implícita do plano (passando pela origem) é dada por
\mathbf{n}\cdot(x,y,z)=0.
Fazendo o produto escalar:
0\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z = 0,
ou seja
y - z = 0.
Note que este resultado coincide com o obtido pelo método de eliminação do passo anterior. Para checar, substitua \mathbf{u} e \mathbf{v} na equação: para \mathbf{u}=(-1,1,1) tem-se 1-1=0; para \mathbf{v}=(3,4,4) tem-se 4-4=0. Então ambos pertencem ao plano definido por y-z=0.