Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras. \overrightarrow{H O}=-\overrightarrow{G C}
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação \overrightarrow{H O}=-\overrightarrow{G C} é verdadeira ou falsa.
Informações visíveis na figura que vou usar (peguei esses dados da imagem): a figura é uma grade 3\times3 formada por quadradinhos congruentes; os pontos C,G,H estão nas interseções das linhas da grade (bordas) e o ponto O está no interior da célula central-direita (parece estar no centro dessa célula). Não há outras medidas dadas numericamente, então vou adotar a unidade “lado do quadrado pequeno = 1” para trabalhar com coordenadas.
Passo 2
Como representar vetores de forma prática: usar coordenadas cartesianas. Se um ponto A tem coordenadas (x_A,y_A) e um ponto B tem coordenadas (x_B,y_B), então o vetor \overrightarrow{AB} é dado por
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Isto significa que cada componente do vetor é a diferença entre as componentes do ponto final e do ponto inicial. Essa é uma forma muito prática para comparar vetores: dois vetores são iguais se e somente se suas duas componentes (horizontal e vertical) forem iguais.
Passo 3
Escolha de referência e coordenadas (peguei a malha da imagem): colocar a origem no canto inferior-esquerdo da grade (ponto rotulado J na figura) e medir em unidades do lado do quadradinho. Assim as linhas verticais têm abscissas x=0,1,2,3 (da esquerda para a direita) e as horizontais têm ordenadas y=0,1,2,3 (de baixo para cima). Com isso, a partir da posição dos rótulos na imagem:
C está no topo da segunda linha vertical desde a esquerda, logo C=(2,3). (Pegado da imagem.)
G é o canto inferior-direito, logo G=(3,0). (Pegado da imagem.)
H é o ponto na base alinhado com a segunda linha vertical desde a esquerda, logo H=(2,0). (Pegado da imagem.)
O está no interior da célula da coluna direita da linha do meio; como parece centralmente dentro dessa célula, tomo O como o centro dessa célula: O=(2{,}5,\,1{,}5). (Pegado da imagem: letra O escrita no centro da célula.)
Passo 4
Calcular \overrightarrow{HO} aplicando a fórmula de componentes:
Explanação: a componente horizontal é quanto se anda para a direita saindo de H até chegar em O (aqui 0{,}5); a componente vertical é quanto se sobe (aqui 1{,}5).
Passo 5
Calcular \overrightarrow{GC} e o seu negativo:
\overrightarrow{GC}=C-G=(2-3,\;3-0)=(-1,\;3).
Logo
-\overrightarrow{GC}=(1,\;-3).
Observação: -\overrightarrow{GC} é simplesmente o vetor oposto a \overrightarrow{GC}, ou seja, tem as mesmas componentes com sinal trocado.
Como as componentes horizontais e verticais não coincidem (0{,}5\neq1 e 1{,}5\neq-3), os vetores são diferentes. Portanto a afirmação \overrightarrow{H O}=-\overrightarrow{G C} é falsa.