Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras. \overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação \overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D} é verdadeira ou falsa. A figura mostra um quadrado dividido em 3\times3 pequenas células iguais, com pontos internos rotulados M,N,P,O e vértices externos rotulados (por exemplo) A,D,J,G. Informação útil da figura (vou extrair e usar estas posições para raciocinar com coordenadas): o ponto D é o vértice superior direito do quadrado; P está no centro da célula central-esquerda (linha do meio, coluna da esquerda); O está no centro da célula central (linha do meio, coluna do meio). O que precisamos decidir é se o vetor do ponto D até O é igual ao negativo do vetor do ponto P até D.
Passo 2
Vou colocar um sistema de coordenadas conveniente: tomo o canto inferior-esquerdo da grade (ponto J na figura) como (0,0), e cada pequena célula tem lado 1. Assim as linhas verticais estão em x=0,1,2,3 e as horizontais em y=0,1,2,3. Com isso os centros das pequenas células ficam em coordenadas com décimos 0{,}5,1{,}5,2{,}5. Pelos dados extraídos da imagem:
D (vértice superior direito) fica em (3,3).
P (centro da célula central-esquerda) fica em (0{,}5,1{,}5).
O (centro da célula central) fica em (1{,}5,1{,}5).
(Estas coordenadas foram escolhidas a partir da divisão 3\times3 mostrada na imagem e dos locais relativos de D,P,O na figura.)
Passo 3
Lembrete prático sobre vetores em coordenadas (aula rápida): se um ponto X tem coordenadas (x_1,y_1) e um ponto Y tem coordenadas (x_2,y_2), então o vetor \overrightarrow{XY} é dado por
\overrightarrow{XY}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
O vetor negativo satisfaz -\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}. Vou usar isso para calcular \overrightarrow{DO} e -\overrightarrow{PD}.
Passo 4
Calcular \overrightarrow{DO} com as coordenadas escolhidas:
Eles não são iguais porque as componentes x são diferentes (-1{,}5\neq -2{,}5). Portanto a igualdade \overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D} é falsa com as posições dadas pela figura.
Passo 7
Observação geral (intuitiva): algebraicamente -\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{DP}, de modo que a igualdade \overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{PD} equivaleria a \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DP}. Isso implica que os vetores partindo de D para O e para P seriam iguais, portanto O e P deveriam coincidir. Na figura O e P são pontos distintos (estão em células diferentes), logo a igualdade não pode ocorrer. Isso confirma a conclusão numérica anterior.