Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras.
\overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação \overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D} é verdadeira ou falsa. A figura mostra um quadrado dividido em 3\times3 pequenas células iguais, com pontos internos rotulados M,N,P,O e vértices externos rotulados (por exemplo) A,D,J,G. Informação útil da figura (vou extrair e usar estas posições para raciocinar com coordenadas): o ponto D é o vértice superior direito do quadrado; P está no centro da célula central-esquerda (linha do meio, coluna da esquerda); O está no centro da célula central (linha do meio, coluna do meio). O que precisamos decidir é se o vetor do ponto D até O é igual ao negativo do vetor do ponto P até D.

Passo 2

Vou colocar um sistema de coordenadas conveniente: tomo o canto inferior-esquerdo da grade (ponto J na figura) como (0,0), e cada pequena célula tem lado 1. Assim as linhas verticais estão em x=0,1,2,3 e as horizontais em y=0,1,2,3. Com isso os centros das pequenas células ficam em coordenadas com décimos 0{,}5,1{,}5,2{,}5. Pelos dados extraídos da imagem:
  • D (vértice superior direito) fica em (3,3).
  • P (centro da célula central-esquerda) fica em (0{,}5,1{,}5).
  • O (centro da célula central) fica em (1{,}5,1{,}5).
(Estas coordenadas foram escolhidas a partir da divisão 3\times3 mostrada na imagem e dos locais relativos de D,P,O na figura.)

Passo 3

Lembrete prático sobre vetores em coordenadas (aula rápida): se um ponto X tem coordenadas (x_1,y_1) e um ponto Y tem coordenadas (x_2,y_2), então o vetor \overrightarrow{XY} é dado por
\overrightarrow{XY}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
O vetor negativo satisfaz -\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}. Vou usar isso para calcular \overrightarrow{DO} e -\overrightarrow{PD}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{DO} com as coordenadas escolhidas:
\overrightarrow{DO}=(x_O-x_D,\;y_O-y_D)=(1{,}5-3,\;1{,}5-3)=(-1{,}5,\;-1{,}5).

Passo 5

Calcular \overrightarrow{PD} e depois o seu negativo:
\overrightarrow{PD}=(x_D-x_P,\;y_D-y_P)=(3-0{,}5,\;3-1{,}5)=(2{,}5,\;1{,}5).
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-\overrightarrow{PD}=(-2{,}5,\;-1{,}5).

Passo 6

Comparar os vetores obtidos:
\overrightarrow{DO}=(-1{,}5,\;-1{,}5),\qquad -\overrightarrow{PD}=(-2{,}5,\;-1{,}5).
Eles não são iguais porque as componentes x são diferentes ( -1{,}5\neq -2{,}5). Portanto a igualdade \overrightarrow{D O}=-\overrightarrow{P D} é falsa com as posições dadas pela figura.

Passo 7

Observação geral (intuitiva): algebraicamente -\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{DP}, de modo que a igualdade \overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{PD} equivaleria a \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DP}. Isso implica que os vetores partindo de D para O e para P seriam iguais, portanto O e P deveriam coincidir. Na figura O e P são pontos distintos (estão em células diferentes), logo a igualdade não pode ocorrer. Isso confirma a conclusão numérica anterior.

Resposta

Falsa

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