Calcule a vazão do canal trapezoidal com os seguintes dados:
\mathrm{I}=0,4 \text { por mil, } \quad \mathrm{n}=0,013, \quad \mathrm{~h}=1 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{~b}=2,5 \mathrm{~m} \quad \text { e } \quad \theta=45^{\circ}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos os números matemáticos estão escritos em TeX conforme pedido):
  • Inclinação do leito: I=0,4 por mil.
  • Coeficiente de Manning: n=0,013.
  • Profundidade da água: h=1\\ \mathrm{m}.
  • Largura do fundo: b=2,5\\ \mathrm{m}.
  • ângulo da talude com a horizontal: \theta=45^\circ.
O que se pede: calcular a vazão Q do canal trapezoidal com esses dados.

Passo 2

Converter e interpretar alguns dados numéricos e geométricos importantes.
  1. Converter a inclinação em unidade adimensional (declive S).
    Por ser 0,4 por mil, tem-se
S = I = 0{,}4\\ \text{por mil} = \frac{0{,}4}{1000} = 0{,}0004.
  1. Determinar a razão de talude z (horizontais por verticais). O enunciado dá o ângulo \theta entre a face do talude e a horizontal: para \theta=45^\circ,
z=\tan(\theta)=\tan(45^\circ)=1.
Isto significa que para cada 1\\ \mathrm{m} de profundidade, a borda do canal se afasta 1\\ \mathrm{m} horizontalmente — talude 1:1.

Passo 3

Calcular a área da seção molhada A.
Uma seção trapezoidal tem área igual à média das bases multiplicada pela altura, mas é conveniente usar a forma
A = h\,(b + z\,h).
Explicação rápida: a largura do topo é b + 2 z h, então a média das bases é \dfrac{b + (b+2zh)}{2}=b+zh; multiplica-se por h.
Substituindo os valores:
A = 1\cdot\bigl(2{,}5 + 1\cdot 1\bigr)=2{,}5+1=3{,}5\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular o perímetro molhado P.
O perímetro molhado é a soma da largura do fundo com os comprimentos das duas faces inclinadas:
P = b + 2\sqrt{h^2 + (z h)^2}.
Aqui \sqrt{h^2+(z h)^2} é o comprimento de uma das faces inclinadas (teorema de Pitágoras).
Substituindo:
P = 2{,}5 + 2\sqrt{1^2 + (1\cdot1)^2} =2{,}5 + 2\sqrt{2}=2{,}5 + 2,828427\ldots
Arredondando com cuidado, obtemos
P \approx 5{,}3284\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o raio hidráulico R.
Definição: o raio hidráulico é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado,
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores calculados:
R=\frac{3{,}5}{5{,}328427\ldots}\approx 0{,}65685\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: R é uma medida de “eficiência” da seção: quanto maior R, menor a perda por atrito relativa.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Manning para obter a vazão Q.
Fórmula de Manning (forma usual):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão em \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1},
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • A é a área molhada em \mathrm{m}^2,
  • R é o raio hidráulico em \mathrm{m},
  • S é o declive (adimensional).
Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos:
  1. R^{2/3}. Com R\approx0{,}65685,
R^{2/3}\approx 0{,}7559.
  1. S^{1/2}=\sqrt{S}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02.
  2. Fator \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{0{,}013}\approx76{,}9231.
Agora montar o produto:
Q=\frac{1}{0{,}013}\times 3{,}5\times 0{,}7559\times 0{,}02.
Calcule em ordem prática (para fazer à mão na prova):
  • Primeiro \dfrac{1}{n}\cdot A \approx 76{,}9231\times 3{,}5 \approx 269{,}2308.
  • Depois multiplicar por R^{2/3}: 269{,}2308\times 0{,}7559 \approx 203{,}512.
  • Finalmente multiplicar por S^{1/2}=0{,}02: 203{,}512\times 0{,}02 \approx 4{,}0702.
Arredondando razoavelmente, obtém-se
Q\approx 4{,}07\\ \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova:
  • O procedimento padrão para esses problemas é: (i) converter a inclinação para número adimensional; (ii) obter z a partir do ângulo \theta (usar \tan); (iii) calcular A e P; (iv) R=A/P; (v) aplicar Manning.
  • Se estiver fazendo à mão, mantenha 3–4 algarismos significativos nas etapas intermediárias e arredonde só no final.

Resposta

Q=4{,}07\\ \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1}

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