Decomponha o polinômio
como:
a) um produto de polinômios do primeiro grau;
b) um produto de polinômios do segundo grau com coeficientes reais.
a) um produto de polinômios do primeiro grau;
b) um produto de polinômios do segundo grau com coeficientes reais.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
a) em fatores lineares sobre
, isto é, como produto de quatro polinômios do primeiro grau;
b) em fatores quadráticos com coeficientes reais, agrupando pares de raízes conjugadas. Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes de .
b) em fatores quadráticos com coeficientes reais, agrupando pares de raízes conjugadas. Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes de
Passo 2
Resolvemos
Escrevendo
em forma polar temos
logo as raízes são
Para
obtemos explicitamente
Passo 3
Como todo polinômio de grau
com raízes
se escreve
temos a fatoração completa em polinômios do primeiro grau sobre
:
Passo 4
Para obter fatoração em quadráticos com coeficientes reais, agrupamos raízes conjugadas:
Dessa forma
que é o produto de dois polinômios de segundo grau com coeficientes reais.
Resposta
(a)
(b)