Decomponha cada um dos polinômios abaixo como um produto de polinômios do primeiro grau:
P(z)=3 z^{2}-i.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o polinômio
P(z)=3z^{2}-i
como produto de polinômios de primeiro grau sobre \mathbb{C}.
Vamos usar a técnica clássica de resolver P(z)=0 para encontrar as raízes e, em seguida, escrever
P(z)=3\bigl(z-z_{1}\bigr)\bigl(z-z_{2}\bigr),
onde z_{1} e z_{2} são as raízes.

Passo 2

Para encontrar as raízes, igualamos P(z) a zero:
3z^{2}-i=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=\frac{i}{3}.
Logo as raízes são
z=\pm\sqrt{\frac{i}{3}}.

Passo 3

Precisamos então calcular \sqrt{i/3}. Observe que i=e^{i\pi/2}, logo
\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}.
Portanto,
\sqrt{\frac{i}{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{i} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1+i}{\sqrt{2}} =\frac{1+i}{\sqrt{6}}.
Assim as raízes são
z_{1}=\frac{1+i}{\sqrt{6}}, \quad z_{2}=-\frac{1+i}{\sqrt{6}}.

Passo 4

Substituindo em
P(z)=3\bigl(z-z_{1}\bigr)\bigl(z-z_{2}\bigr),
obtemos a fatoração desejada.

Resposta

P(z)=3\Bigl(z-\frac{1+i}{\sqrt{6}}\Bigr)\Bigl(z+\frac{1+i}{\sqrt{6}}\Bigr).

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