Considere
e
espaços métricos,
uma aplicação e
. Suponha que para qualquer
, tal que
, existe
de maneira que, para todo
,
Diante disso, mostre que
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado trabalha com espaços métricos
e
, uma função
e um ponto
. A hipótese diz que para todo
real com
existe
tal que
Queremos provar que
é contínua em
, ou seja, mostrar que para todo
existe
(dependendo de
) satisfazendo a mesma implicação.
Passo 2
Lembrando a definição de continuidade em
:
é contínua em
se, para cada
, existe
tal que
Passo 3
Caso
:
A própria hipótese fornece o desejado. Logo, esse caso está resolvido diretamente.
A própria hipótese fornece o
Passo 4
Caso
:
Escolha , que satisfaz
. Pela hipótese existe
tal que
Escolha
Mas
, então sempre que
teremos
como desejado.
Resposta
Portanto, para todo
encontramos um
(ou pela hipótese, se
, ou usando
, se
) que garante
Isso mostra que
é contínua em
.