Considere \left(M, d_{M}\right) e \left(N, d_{N}\right) espaços métricos, f: M \rightarrow N uma aplicação e p \in M. Suponha que para qualquer \varepsilon \in \mathbb{R}, tal que 0<\varepsilon<1, existe \delta>0 de maneira que, para todo x \in M,
d_{M}(x, p)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x), f(p))<\varepsilon .
Diante disso, mostre que f é contínua em p.

Passo 1

O enunciado trabalha com espaços métricos (M,d_{M}) e (N,d_{N}), uma função f\colon M\to N e um ponto p\in M. A hipótese diz que para todo \varepsilon real com 0<\varepsilon<1 existe \delta>0 tal que
d_{M}(x,p)<\delta\;\Longrightarrow\;d_{N}(f(x),f(p))<\varepsilon.
Queremos provar que f é contínua em p, ou seja, mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (dependendo de \varepsilon) satisfazendo a mesma implicação.

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade em p: f é contínua em p se, para cada \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
d_{M}(x,p)<\delta\quad\Longrightarrow\quad d_{N}(f(x),f(p))<\varepsilon.

Passo 3

Caso 0<\varepsilon<1:
A própria hipótese fornece o \delta desejado. Logo, esse caso está resolvido diretamente.

Passo 4

Caso \varepsilon\ge1:
Escolha \varepsilon'= \tfrac12, que satisfaz 0<\varepsilon'<1. Pela hipótese existe \delta>0 tal que
d_{M}(x,p)<\delta\quad\Longrightarrow\quad d_{N}(f(x),f(p))<\varepsilon'=\tfrac12.
Mas \tfrac12<1\le\varepsilon, então sempre que d_{M}(x,p)<\delta teremos
d_{N}(f(x),f(p))<\tfrac12<\varepsilon,
como desejado.

Resposta

Portanto, para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 (ou pela hipótese, se \varepsilon<1, ou usando \varepsilon'=1/2, se \varepsilon\ge1) que garante
d_{M}(x,p)<\delta\quad\Longrightarrow\quad d_{N}(f(x),f(p))<\varepsilon.
Isso mostra que f é contínua em p.

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