Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
|z|=|\bar{z}|.

Passo 1

O enunciado pede provar que, para todo z\in\mathbb{C}, vale a igualdade
|z| = |\overline{z}|.
O conteúdo aqui é a definição de módulo de um número complexo e o conceito de conjugado.

Passo 2

Seja
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}. Por definição, o módulo de z é
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
O conjugado de z é
\overline{z} = x - i\,y.

Passo 3

Aplicando a definição ao conjugado, obtemos
|\overline{z}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}.
Portanto
|\overline{z}| = \sqrt{x^2+y^2} = |z|.

Resposta

|z| = |\overline{z}|\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.

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