Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas e f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Mostre que, nessas condições, f não é contínua em (0,0).
Passo 1
O enunciado define a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por
\[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^2+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
com a métrica euclidiana em \mathbb{R}^2\]. Queremos mostrar que \(f não é contínua em (0,0).]
Passo 2
Lembrando a definição de continuidade em \mathbb{R}^2: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \;=\; f(0,0) \;=\;0.
Basta então encontrar um caminho de aproximação a (0,0) ao longo do qual f(x,y) não tende a 0.