Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas e f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Mostre que, nessas condições, f não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^2+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
com a métrica euclidiana em \mathbb{R}^2\]. Queremos mostrar que \(f não é contínua em (0,0).]

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade em \mathbb{R}^2: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \;=\; f(0,0) \;=\;0.
Basta então encontrar um caminho de aproximação a (0,0) ao longo do qual f(x,y) não tende a 0.

Passo 3

Vamos aproximar (0,0) pela reta y=x. Para x\neq0,
f(x,x) = \frac{x\cdot x}{x^2+x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac12.
Isso significa que, ao longo de (x,x)\to(0,0), o valor de f(x,x) é sempre \tfrac12, logo
\lim_{x\to0}f(x,x) = \frac12 \neq0.

Passo 4

Como ao menos um caminho de aproximação leva a um valor-limite \tfrac12 diferente de f(0,0)=0, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe (ou não é 0). Portanto f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

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