onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Explicação didática rápida: quando o fator do denominador é uma quadrática irreduzível, o numerador de cada termo parcial deve ser linear (Ax+B), e como o fator aparece ao quadrado, precisamos de um termo para cada potência: uma fração sobre x^{2}+4 e outra sobre (x^{2}+4)^2.
Passo 3
Determinar as constantes A,B,C,D\) por identidade algébrica:
Multiplicando ambos os lados por \((x^{2}+4)^{2}\) obtemos
\[3x^{2}+1=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expandindo (Ax+B)(x^{2}+4):
(Ax+B)(x^{2}+4)=A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B.
Somando Cx+D dá
A x^{3}+B x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Agora igualamos coeficientes com 3x^{2}+1 = 0\cdot x^{3}+3x^{2}+0\cdot x+1. Obtém-se o sistema:
\begin{cases} A = 0,\\[4pt] B = 3,\\[4pt] 4A + C = 0,\\[4pt] 4B + D = 1. \end{cases}
Resolvendo:
De A=0\] segue \(C=0 (da terceira equação).
De B=3 segue 4\cdot 3 + D = 1, logo 12 + D = 1 e D = -11.]
Passo 4
Escrever a decomposição encontrada:
Substituindo A=0,B=3,C=0,D=-11 na forma parcial,
Comentário: ficou simples — os termos com x no numerador desapareceram (A=C=0), então temos um termo \dfrac{3}{x^{2}+4} e outro -\dfrac{11}{(x^{2}+4)^{2}}.
Passo 5
Integrar o primeiro termo: \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx.
Usamos a fórmula básica