Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(3 x^{2}+1\right) /\left(x^{2}+4\right)^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \,3x^{2}+1\,.
  • O denominador é \,(x^{2}+4)^{2}\,, ou seja, uma quadrática irreducível x^{2}+4 elevada ao quadrado.
  • A tarefa explícita: primeiro decompor a fração racional em frações parciais e depois calcular a integral indefinida.
  • Nenhuma outra informação (como valores numéricos para constantes) foi fornecida.

Passo 2

Verificação se a fração é própria e escolha da forma de frações parciais:
  • Grau do numerador é 2 e grau do denominador é 4, então a fração é própria (não precisa dividir polinômios).
  • Para um fator quadrático irreduzível x^{2}+4 elevado à potência 2, a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+4}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Explicação didática rápida: quando o fator do denominador é uma quadrática irreduzível, o numerador de cada termo parcial deve ser linear ( Ax+B), e como o fator aparece ao quadrado, precisamos de um termo para cada potência: uma fração sobre x^{2}+4 e outra sobre (x^{2}+4)^2.

Passo 3

Determinar as constantes A,B,C,D\) por identidade algébrica: Multiplicando ambos os lados por \((x^{2}+4)^{2}\) obtemos \[3x^{2}+1=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expandindo (Ax+B)(x^{2}+4):
(Ax+B)(x^{2}+4)=A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B.
Somando Cx+D
A x^{3}+B x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Agora igualamos coeficientes com 3x^{2}+1 = 0\cdot x^{3}+3x^{2}+0\cdot x+1. Obtém-se o sistema:
\begin{cases} A = 0,\\[4pt] B = 3,\\[4pt] 4A + C = 0,\\[4pt] 4B + D = 1. \end{cases}
Resolvendo:
  • De A=0\] segue \(C=0 (da terceira equação).
  • De B=3 segue 4\cdot 3 + D = 1, logo 12 + D = 1 e D = -11.]

Passo 4

Escrever a decomposição encontrada:
Substituindo A=0,B=3,C=0,D=-11 na forma parcial,
\frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{3}{x^{2}+4}-\frac{11}{(x^{2}+4)^{2}}.
Comentário: ficou simples — os termos com x no numerador desapareceram ( A=C=0), então temos um termo \dfrac{3}{x^{2}+4} e outro -\dfrac{11}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 5

Integrar o primeiro termo: \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx.
Usamos a fórmula básica
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0. Aqui a^{2}=4 então a=2. Assim
\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx = 3\int \frac{dx}{x^{2}+2^{2}} = 3\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Breve explicação da fórmula: ela vem da substituição x=a\tan\theta, que transforma \int dx/(x^{2}+a^{2}) em \int d\theta.

Passo 6

Integrar o segundo termo: \displaystyle -11\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Para isso vamos derivar uma expressão geral para
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}
usando a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Passo a passo:
  • Ponha x=a\tan\theta. Então dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Calcula-se x^{2}+a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Portanto
\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}} =\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{4}\operatorname{sec}^{4}\theta} =\frac{1}{a^{3}}\cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Então
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{1}{a^{3}}\int \cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{a^{3}}\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2a^{3}}\left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right)+C.
  • Voltando para x: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right). Além disso
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\cdot\frac{a}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} =\frac{2ax}{x^{2}+a^{2}}.
  • Substituindo na expressão:
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) +\frac{1}{2a^{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2ax}{x^{2}+a^{2}}+C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{2a^{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2ax}{x^{2}+a^{2}}=\frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}.
Portanto a fórmula fechada é
\boxed{\displaystyle \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.}

Passo 7

Aplicar a fórmula com a=2 para o termo \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx:
  • Substituindo a=2 na fórmula:
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{x}{2\cdot 2^{2}(x^{2}+4)}+\frac{1}{2\cdot 2^{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
  • Simplificando os fatores:
\frac{x}{2\cdot 2^{2}(x^{2}+4)}=\frac{x}{8(x^{2}+4)},\qquad \frac{1}{2\cdot 2^{3}}=\frac{1}{16}.
Logo
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{x}{8(x^{2}+4)}+\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 8

Combinar os resultados e simplificar:
  • Temos da Passo 5: \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx=\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • E da Passo 7: \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx=\frac{x}{8(x^{2}+4)}+\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
  • Lembrando o sinal e o fator -11 do Passo 4, o segundo termo da integral total é
-11\left(\frac{x}{8(x^{2}+4)}+\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right) =-\frac{11x}{8(x^{2}+4)}-\frac{11}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Somando com o primeiro termo:
\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{11}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) =\left(\frac{3}{2}-\frac{11}{16}\right)\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Calcule o coeficiente:
\frac{3}{2}=\frac{24}{16},\qquad \frac{24}{16}-\frac{11}{16}=\frac{13}{16}.
  • Portanto a primitiva total é
\frac{13}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{11x}{8(x^{2}+4)}+C.

Resposta

\frac{13}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{11x}{8(x^{2}+4)}+C

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