Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x+1}

Passo 1

O problema pede que eu encontre o valor do limite
\lim_{x\to -1} \frac{x^{2}-1}{x+1}.
Informações dadas: a expressão no numerador é \,x^{2}-1\, e no denominador é \,x+1\,. O ponto de aproximação é x\to -1. Nada mais é fornecido explicitamente no enunciado.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta (avaliar a expressão no ponto) para ver que tipo de limite temos. Calculando o numerador em x=-1:
(-1)^{2}-1 = 1-1 = 0.
Calculando o denominador em x=-1:
-1 + 1 = 0.
Portanto, a substituição direta dá a forma \frac{0}{0}. Explanação didática: quando ao substituir obtemos \frac{0}{0} dizemos que o limite é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão (algebricamente, por regras de limites, ou usando a Regra de L’Hôpital) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Método elementar (mais simples aqui): fatorar o numerador. Lembra da identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1, temos
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo isso na fração original obtemos, para x\neq -1,
\frac{x^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}.
Como estamos calculando um limite em torno de x=-1 (e não avaliando exatamente em x=-1), podemos simplificar (cancelar) o fator comum x+1 para x\neq -1:
\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\qquad\text{para }x\neq -1.
Observação didática: cancelar é válido porque limite \lim_{x\to -1} f(x) só exige conhecimento do comportamento para x próximos de -1 (exceto no próprio ponto). Assim o limite da função original é igual ao limite da função simplificada x-1. Agora calculamos esse limite por substituição direta:
\lim_{x\to -1}(x-1)=(-1)-1=-2.
Portanto, por simplificação algébrica, o limite vale -2.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital (verifica-se se é apropriado): a Regra de L’Hôpital diz que se
\lim_{x\to a} f(x)=0\quad\text{e}\quad\lim_{x\to a} g(x)=0
e f e g são diferenciáveis num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 nesse intervalo (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista ou seja \pm\infty. No nosso caso f(x)=x^{2}-1 e g(x)=x+1. São polinômios, logo diferenciáveis em todo lugar; além disso antes verificamos que f(-1)=g(-1)=0, ou seja, temos a indeterminação \frac{0}{0}. Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x,
g'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.
Aplicando L’Hôpital uma vez:
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-1}{x+1}=\lim_{x\to -1}\frac{2x}{1}=2\cdot(-1)=-2.
Conclusão: a Regra de L’Hôpital também dá -2. Observação didática: aqui L’Hôpital é aplicável e rápida, mas a fatoração é ainda mais simples porque são polinômios.

Passo 5

Resumo e dica prática: para limites racionais que dão \frac{0}{0} ao substituir, sempre que possível tente fatorar e simplificar primeiro — é o caminho mais rápido em provas e evita derivadas desnecessárias. L’Hôpital é uma ferramenta poderosa quando a fatoração/álgebra é complicada, mas para polinômios simples a fatoração vence no tempo.

Resposta

-2

Exercícios relacionados