Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede que eu encontre o valor do limite
Informações dadas: a expressão no numerador é
e no denominador é
. O ponto de aproximação é
. Nada mais é fornecido explicitamente no enunciado.
Passo 2
Primeiro tentamos a substituição direta (avaliar a expressão no ponto) para ver que tipo de limite temos. Calculando o numerador em
:
Calculando o denominador em
:
Portanto, a substituição direta dá a forma
. Explanação didática: quando ao substituir obtemos
dizemos que o limite é uma indeterminação do tipo
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão (algebricamente, por regras de limites, ou usando a Regra de L’Hôpital) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Método elementar (mais simples aqui): fatorar o numerador. Lembra da identidade de diferença de quadrados:
Aplicando com
e
, temos
Substituindo isso na fração original obtemos, para
,
Como estamos calculando um limite em torno de
(e não avaliando exatamente em
), podemos simplificar (cancelar) o fator comum
para
:
Observação didática: cancelar é válido porque limite
só exige conhecimento do comportamento para
próximos de
(exceto no próprio ponto). Assim o limite da função original é igual ao limite da função simplificada
. Agora calculamos esse limite por substituição direta:
Portanto, por simplificação algébrica, o limite vale
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital (verifica-se se é apropriado): a Regra de L’Hôpital diz que se
e
e
são diferenciáveis num intervalo ao redor de
(exceto possivelmente em
), e
nesse intervalo (exceto possivelmente em
), então
desde que o limite à direita exista ou seja
. No nosso caso
e
. São polinômios, logo diferenciáveis em todo lugar; além disso antes verificamos que
, ou seja, temos a indeterminação
. Calculamos as derivadas:
Aplicando L’Hôpital uma vez:
Conclusão: a Regra de L’Hôpital também dá
. Observação didática: aqui L’Hôpital é aplicável e rápida, mas a fatoração é ainda mais simples porque são polinômios.
Passo 5
Resumo e dica prática: para limites racionais que dão
ao substituir, sempre que possível tente fatorar e simplificar primeiro — é o caminho mais rápido em provas e evita derivadas desnecessárias. L’Hôpital é uma ferramenta poderosa quando a fatoração/álgebra é complicada, mas para polinômios simples a fatoração vence no tempo.