Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(x^{3}+2 x\right) /\left(x^{2}+1\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede que decomponhamos em frações parciais e depois calculemos a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador } = x^{3}+2x, \qquad \text{denominador } = (x^{2}+1)^{2}.
O objetivo é (1) escrever a função racional como soma de frações mais simples (frações parciais) e (2) integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos escolher a forma de decomposição em frações parciais. O denominador é uma potência de um quadrático irredutível (x^{2}+1)^{2}. Para um fator quadrático repetido a forma geral é
\frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+1)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Expliquei: cada ocorrência do fator x^{2}+1 dá um numerador linear Ax+B (porque o fator é quadrático).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)^{2} para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
x^{3}+2x = (Ax+B)(x^{2}+1) + (Cx+D).
Agora expandimos (Ax+B)(x^{2}+1):
(Ax+B)(x^{2}+1)=A x^{3}+B x^{2}+A x + B.
Somando (Cx+D) obtemos
x^{3}+2x = A x^{3} + B x^{2} + (A+C) x + (B+D).

Passo 4

Comparando coeficientes dos dois polinômios (igualdade para todos os x) obtemos um sistema:
coeficiente de x^{3}:
A = 1.
coeficiente de x^{2}:
B = 0.
coeficiente de x^{1}:
A + C = 2 \quad\Rightarrow\quad 1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 1.
termo constante:
B + D = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = 0.
Portanto A=1,\;B=0,\;C=1,\;D=0.

Passo 5

Com as constantes encontradas a decomposição fica
\frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 6

Integramos o primeiro termo \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Usamos a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C_1.
Substituindo u=x^{2}+1 e lembrando que x^{2}+1>0 para todo x,
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big) + C_1.

Passo 7

Integramos o segundo termo \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Usamos a mesma substituição u = x^{2}+1, du = 2x\,dx, portanto x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du. Então
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
A integral de u^{-2} é -u^{-1}. Portanto
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\big(-u^{-1}\big) + C_2 = -\frac{1}{2u} + C_2.
Voltando para x,
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} + C_2.

Passo 8

Somando os resultados dos Passos 6 e 7 e juntando as constantes de integração em uma só constante C, obtemos a antiderivada:
\int \frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big) - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.
Podemos fatorar \tfrac{1}{2} se quisermos:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big) - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.}
Parabéns! Respire fundo — frações parciais às vezes parecem chatas, mas o truque é sempre escolher a forma correta e comparar coeficientes.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)-\frac{1}{2(x^{2}+1)}+C

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