Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede que decomponhamos em frações parciais e depois calculemos a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
O objetivo é (1) escrever a função racional como soma de frações mais simples (frações parciais) e (2) integrar termo a termo.
Passo 2
Vamos escolher a forma de decomposição em frações parciais. O denominador é uma potência de um quadrático irredutível
. Para um fator quadrático repetido a forma geral é
onde
são constantes a determinar. Expliquei: cada ocorrência do fator
dá um numerador linear
(porque o fator é quadrático).
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Agora expandimos
:
Somando
obtemos
Passo 4
Comparando coeficientes dos dois polinômios (igualdade para todos os
) obtemos um sistema:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
coeficiente de
:
termo constante:
Portanto
.
Passo 5
Com as constantes encontradas a decomposição fica
Agora integramos termo a termo:
Passo 6
Integramos o primeiro termo
.
Usamos a substituição . Então
, ou seja
. Assim
Usamos a substituição
Substituindo
e lembrando que
para todo
,
Passo 7
Integramos o segundo termo
.
Usamos a mesma substituição ,
, portanto
. Então
Usamos a mesma substituição
A integral de
é
. Portanto
Voltando para
,
Passo 8
Somando os resultados dos Passos 6 e 7 e juntando as constantes de integração em uma só constante
, obtemos a antiderivada:
Podemos fatorar
se quisermos:
Parabéns! Respire fundo — frações parciais às vezes parecem chatas, mas o truque é sempre escolher a forma correta e comparar coeficientes.