Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para decompor em frações parciais e calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
1) O numerador é
.\n
2) O denominador é
, produto de um fator linear
e de um quadrático irreduzível sobre
,
.\n
3) A integral pede a antiderivada em termos de funções elementares.
Passo 2
Verificação rápida de que a fração já é própria: o grau do numerador é
e o grau do denominador é
, então não precisamos fazer divisão polinomial. Para decompor em frações parciais, usamos a forma apropriada para um denominador com um fator linear e um quadrático irreduzível:
onde
são constantes a determinar. Explico por que: para cada fator linear distinto usamos um termo
e para cada quadrático irreduzível usamos um numerador linear
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Agora vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos
:
Somando com
obtemos
Passo 4
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (coeficiente de
Isto é um sistema linear de três equações para (A,B,C].]
Passo 5
Resolvendo o sistema: da primeira equação
.\nSubstituindo na segunda:
na terceira:
e
)
Passo 6
Portanto a decomposição em frações parciais é
Fatorando
para deixar mais claro:
Passo 7
Integramos termo a termo. Escrevo a integral usando a decomposição:
Dividimos a segunda fração em duas partes:
Agora as fórmulas que usamos (e por que elas valem):
-
. É a integral básica de . - Para a parte com
no numerador: faça a substituição . Então
- Para a parte sem
no numerador:
pois
.
Agora aplicamos essas fórmulas com os coeficientes:
-
Para
: isso dá . -
Para
: pela substituição, . Multiplicando por fica . -
Para
: usamos a fórmula da arctan, obtendo .
Passo 8
Somando as partes e adicionando a constante de integração
, a antiderivada é