Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(x^{2}+4 x+5\right) /\left(\left(x^{2}+4\right)(x+1)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais e calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+4x+5}{\left(x^{2}+4\right)(x+1)}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\; 1) O numerador é \;x^{2}+4x+5.\n \; 2) O denominador é \;(x^{2}+4)(x+1), produto de um fator linear \;x+1 e de um quadrático irreduzível sobre \mathbb{R}, \;x^{2}+4.\n \; 3) A integral pede a antiderivada em termos de funções elementares.

Passo 2

Verificação rápida de que a fração já é própria: o grau do numerador é \;2 e o grau do denominador é \;3, então não precisamos fazer divisão polinomial. Para decompor em frações parciais, usamos a forma apropriada para um denominador com um fator linear e um quadrático irreduzível:
\frac{x^{2}+4x+5}{(x^{2}+4)(x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por que: para cada fator linear distinto usamos um termo \dfrac{\text{constante}}{\text{linear}} e para cada quadrático irreduzível usamos um numerador linear \dfrac{Bx+C}{\text{quadrático}}á.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+4)(x+1) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
x^{2}+4x+5 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x+1).
Agora vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos (Bx+C)(x+1):
(Bx+C)(x+1)=Bx^{2}+(B+C)x+C.
Somando com A(x^{2}+4)=Ax^{2}+4A obtemos
x^{2}+4x+5=(A+B)x^{2}+(B+C)x+(4A+C).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^{2}\), de \(x\) e termo constante): \[\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] B+C=4,\\[4pt] 4A+C=5. \end{cases}
Isto é um sistema linear de três equações para (A,B,C].]

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação \;B=1-A.\nSubstituindo na segunda: (1-A)+C=4\Rightarrow C=3+A.\nSubstituindo \(C na terceira: 4A+(3+A)=5\Rightarrow 5A+3=5\Rightarrow 5A=2\Rightarrow A=\dfrac{2}{5}.\nEntão \(B=1-A=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5} e C=3+A=3+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}.)

Passo 6

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{x^{2}+4x+5}{(x^{2}+4)(x+1)}=\frac{2/5}{x+1}+\frac{(3/5)x+17/5}{x^{2}+4}.
Fatorando 1/5 para deixar mais claro:
\frac{x^{2}+4x+5}{(x^{2}+4)(x+1)}=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{x+1}+\frac{3x+17}{x^{2}+4}\right).

Passo 7

Integramos termo a termo. Escrevo a integral usando a decomposição:
\int \frac{x^{2}+4x+5}{(x^{2}+4)(x+1)}\,dx =\frac{1}{5}\int\left(\frac{2}{x+1}+\frac{3x+17}{x^{2}+4}\right)dx.
Dividimos a segunda fração em duas partes:
\frac{3x+17}{x^{2}+4}=\frac{3x}{x^{2}+4}+\frac{17}{x^{2}+4}.
Agora as fórmulas que usamos (e por que elas valem):
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C. É a integral básica de 1/(x+a).
  2. Para a parte com x no numerador: faça a substituição \;u=x^{2}+4\Rightarrow du=2x\,dx. Então
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+\tilde C=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)+\tilde C.
  1. Para a parte sem x no numerador:
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+\tilde C,
pois \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Agora aplicamos essas fórmulas com os coeficientes:
  • Para \dfrac{1}{5}\int \dfrac{2}{x+1}\,dx: isso dá \dfrac{1}{5}\cdot 2\ln|x+1|=\dfrac{2}{5}\ln|x+1|.
  • Para \dfrac{1}{5}\int \dfrac{3x}{x^{2}+4}\,dx: pela substituição, \int \dfrac{3x}{x^{2}+4}dx=3\cdot \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=\dfrac{3}{2}\ln(x^{2}+4). Multiplicando por 1/5 fica \dfrac{3}{10}\ln(x^{2}+4).
  • Para \dfrac{1}{5}\int \dfrac{17}{x^{2}+4}\,dx: usamos a fórmula da arctan, obtendo \dfrac{1}{5}\cdot 17\cdot \dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{17}{10}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 8

Somando as partes e adicionando a constante de integração C, a antiderivada é
\frac{2}{5}\ln|x+1|+\frac{3}{10}\ln(x^{2}+4)+\frac{17}{10}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\ln|x+1|+\frac{3}{10}\ln(x^{2}+4)+\frac{17}{10}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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