Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(2 x^{2}+3 x+1\right) /\left(\left(x^{2}+1\right)(x-2)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu decomponha em frações parciais e calcule a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}+3x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-2)}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\,2x^{2}+3x+1 é o numerador e \left(x^{2}+1\right)(x-2) é o denominador; o denominador é fatorado como um fator linear \,(x-2) e um quadrático irreduzível \,(x^{2}+1). A integral pedida é indefinida (tem constante de integração).

Passo 2

Estratégia: como o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), já temos uma fração própria e podemos escrever a decomposição em frações parciais da forma
\frac{2x^{2}+3x+1}{(x^{2}+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Expliquei: para um fator linear usamos constante no numerador, para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear Bx+C.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por (x^{2}+1)(x-2) para obter uma identidade polinomial:
2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-2).
Agora vou expandir o lado direito passo a passo. Primeiro
A(x^{2}+1)=Ax^{2}+A.
E
(Bx+C)(x-2)=Bx^{2}-2Bx+Cx-2C = Bx^{2}+(C-2B)x-2C.
Somando os termos:
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-2) = (A+B)x^{2}+(C-2B)x+(A-2C).

Passo 4

Igualo coeficientes do polinômio à esquerda com os do polinômio à direita. Obtenho o sistema linear
\begin{cases} A+B = 2,\\[4pt] C-2B = 3,\\[4pt] A-2C = 1. \end{cases}
Vou resolver esse sistema. Da primeira equação \,A=2-B\). Substituo na terceira: \[(2-B)-2C = 1 \quad\Rightarrow\quad -B-2C = -1 \quad\Rightarrow\quad B+2C=1.
Agora o sistema reduzido é
\begin{cases} B+2C=1,\\[4pt] -2B+C=3. \end{cases}
Multiplico a primeira por 2\]: \(2B+4C=2. Somando com a segunda (-2B+C=3) resulta em 5C=5, logo C=1. Substituindo em B+2C=1 B+2\cdot1=1 então B=-1. Finalmente A=2-B=2-(-1)=3.]

Passo 5

Achei os coeficientes: A=3, B=-1, C=1. Portanto a decomposição é
\frac{2x^{2}+3x+1}{(x^{2}+1)(x-2)}=\frac{3}{x-2}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}.
Para integrar, é conveniente separar o segundo termo:
\frac{-x+1}{x^{2}+1} = -\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 6

Integro termo a termo. Vou lembrar e explicar as antiderivadas usadas:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x-2}\,dx a primitiva é \ln|x-2|, porque a derivada de \ln|x-2| é \dfrac{1}{x-2}.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx uso a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(u) = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx a primitiva é \arctan(x), porque \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Agora aplico essas antiderivadas ao nosso caso:
\int \frac{3}{x-2}\,dx = 3\ln|x-2|,
\int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1),
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 7

Somando as primitivas dos termos, a integral original é
\int \frac{2x^{2}+3x+1}{(x^{2}+1)(x-2)}\,dx = 3\ln|x-2| - \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + \arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração. Posso verificar rapidamente derivando: a derivada de 3\ln|x-2| é \dfrac{3}{x-2}, a de -\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) é -\dfrac{x}{x^{2}+1} e a de \arctan(x) é \dfrac{1}{x^{2}+1}; somando os termos recupero o integrando original.

Resposta

3\ln|x-2|-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan(x)+C

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