Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int\left(2 x^{2}+3 x+1\right) /\left(\left(x^{2}+1\right)(x-2)\right) d x
Passo 1
O enunciado pede que eu decomponha em frações parciais e calcule a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \,2x^{2}+3x+1 é o numerador e \left(x^{2}+1\right)(x-2) é o denominador; o denominador é fatorado como um fator linear \,(x-2) e um quadrático irreduzível \,(x^{2}+1). A integral pedida é indefinida (tem constante de integração).
Passo 2
Estratégia: como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), já temos uma fração própria e podemos escrever a decomposição em frações parciais da forma
onde A, B e C são constantes a determinar. Expliquei: para um fator linear usamos constante no numerador, para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear Bx+C.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por (x^{2}+1)(x-2) para obter uma identidade polinomial:
2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-2).
Agora vou expandir o lado direito passo a passo. Primeiro
Vou resolver esse sistema. Da primeira equação \,A=2-B\). Substituo na terceira:
\[(2-B)-2C = 1 \quad\Rightarrow\quad -B-2C = -1 \quad\Rightarrow\quad B+2C=1.
Agora o sistema reduzido é
\begin{cases} B+2C=1,\\[4pt] -2B+C=3. \end{cases}
Multiplico a primeira por 2\]: \(2B+4C=2. Somando com a segunda (-2B+C=3) resulta em 5C=5, logo C=1. Substituindo em B+2C=1 dá B+2\cdot1=1 então B=-1. Finalmente A=2-B=2-(-1)=3.]
Passo 5
Achei os coeficientes: A=3, B=-1, C=1. Portanto a decomposição é
onde C é a constante de integração. Posso verificar rapidamente derivando: a derivada de 3\ln|x-2| é \dfrac{3}{x-2}, a de -\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) é -\dfrac{x}{x^{2}+1} e a de \arctan(x) é \dfrac{1}{x^{2}+1}; somando os termos recupero o integrando original.