Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para decompor a fração racional e calcular a integral indefinida. Dados importantes fornecidos:
- A integral é
. - O numerador é a função
. - O denominador é a potência do linear
.
As perguntas implícitas: (1) escrever
em frações parciais; (2) integrar a soma obtida.
Passo 2
Verificação rápida do tipo de fração: o grau do numerador é
(pois
é linear) e o grau do denominador é
. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, já temos uma fração própria e podemos decompor diretamente em frações parciais sem fazer divisão polinomial prévia.
Passo 3
Para um fator linear repetido
a decomposição padrão é:
onde
,
e
são constantes a determinar. Isso é porque qualquer fração racional com denominador
pode ser escrita como soma de termos com potências de
no denominador.
Passo 4
Multiplicamos a identidade acima por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Agora vamos expandir o lado direito e igualar coeficientes dos termos em
,
e constantes.
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo, que é
Substituindo (A=0] nas outras equações:
]
Passo 7
Portanto a decomposição em frações parciais é
Note que o termo com
desapareceu porque
.
Passo 8
Agora integramos termo a termo. É conveniente ver cada termo como potência de
. Faço a substituição
. Então
. A regra básica usada é a regra da potência:
Aplicando aos termos:
- Para
escrevemos . Então
Voltando a
:
.
- Para
escrevemos . Então
Voltando a
:
.
Passo 9
Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva geral da integranda. Lembre-se de adicionar a constante de integração
. (Não repito a resposta final aqui; ela está montada a partir das primitivas encontradas.)