Decomponha a fração racional em frações parciais e calcule a integral indefinida: \int(5 x+7) /(x+1)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para decompor a fração racional e calcular a integral indefinida. Dados importantes fornecidos:
  • A integral é \displaystyle \int \frac{5x+7}{(x+1)^{3}}\,dx.
  • O numerador é a função 5x+7.
  • O denominador é a potência do linear (x+1)^{3}.
As perguntas implícitas: (1) escrever \dfrac{5x+7}{(x+1)^3} em frações parciais; (2) integrar a soma obtida.

Passo 2

Verificação rápida do tipo de fração: o grau do numerador é 1 (pois 5x+7 é linear) e o grau do denominador é 3. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, já temos uma fração própria e podemos decompor diretamente em frações parciais sem fazer divisão polinomial prévia.

Passo 3

Para um fator linear repetido (x+1)^3 a decomposição padrão é:
\frac{5x+7}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3},
onde A, B e C são constantes a determinar. Isso é porque qualquer fração racional com denominador (x+1)^3 pode ser escrita como soma de termos com potências de (x+1) no denominador.

Passo 4

Multiplicamos a identidade acima por (x+1)^3 para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
5x+7 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C.
Agora vamos expandir o lado direito e igualar coeficientes dos termos em x^2, x e constantes.

Passo 5

Expandindo o lado direito:
A(x+1)^2 + B(x+1) + C = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C.
Agrupando termos semelhantes:
= A x^2 + (2A + B)x + (A + B + C).

Passo 6

Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo, que é 5x+7 = 0\cdot x^2 + 5x + 7\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A = 0,\\[4pt] 2A + B = 5,\\[4pt] A + B + C = 7. \end{cases}
Substituindo (A=0] nas outras equações:
B = 5, \qquad 0 + 5 + C = 7 \Rightarrow C = 2.]

Passo 7

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{5x+7}{(x+1)^3} = \frac{0}{x+1} + \frac{5}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^3} = \frac{5}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^3}.
Note que o termo com A desapareceu porque A=0.

Passo 8

Agora integramos termo a termo. É conveniente ver cada termo como potência de u=x+1. Faço a substituição u = x+1. Então du = dx. A regra básica usada é a regra da potência:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\quad(\text{para } n\neq -1).
Aplicando aos termos:
  • Para \displaystyle \int \frac{5}{(x+1)^2}\,dx escrevemos \frac{5}{(x+1)^2}=5(x+1)^{-2}. Então
\int 5(x+1)^{-2}\,dx = 5\int u^{-2}\,du = 5\cdot\frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{5}{u}.
Voltando a x: -\dfrac{5}{x+1}.
  • Para \displaystyle \int \frac{2}{(x+1)^3}\,dx escrevemos 2(x+1)^{-3}. Então
\int 2(x+1)^{-3}\,dx = 2\int u^{-3}\,du = 2\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = -u^{-2}.
Voltando a x: -\dfrac{1}{(x+1)^2}.

Passo 9

Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva geral da integranda. Lembre-se de adicionar a constante de integração C. (Não repito a resposta final aqui; ela está montada a partir das primitivas encontradas.)

Resposta

-\dfrac{5}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}+C

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