Decomponha o polinômio
em fatores de grau 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de decompor o polinômio $ P(z) = z^{6} + 64 $ em fatores de grau 1. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente na fatoração de polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre números complexos e como encontrar as raízes de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as raízes da equação $ z^{6} + 64 = 0 $. Isso significa resolver $ z^{6} = -64 $. Para encontrar as raízes, vamos trabalhar no conjunto dos números complexos.
Passo 3
Vamos escrever o número
na forma polar. Sabemos que
pode ser representado como $ 64 $ com um ângulo de $ \pi $ radianos (ou 180 graus). Então, na forma polar:
Passo 4
Agora, para encontrar as 6 raízes de $ z^{6} = -64 $, usamos a fórmula das raízes $ n $-ésimas de um número complexo:
Calculando:
Então,
Passo 5
Vamos calcular cada uma das raízes substituindo os valores de $ k $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
- Para $ k = 5 $:
Resposta
Assim, a decomposição do polinômio $ P(z) = z^{6} + 64 $ em fatores de grau 1 fica: