Decomponha o polinômio P(z)=z^6+64 em fatores de grau 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de decompor o polinômio $ P(z) = z^{6} + 64 $ em fatores de grau 1. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente na fatoração de polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre números complexos e como encontrar as raízes de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as raízes da equação $ z^{6} + 64 = 0 $. Isso significa resolver $ z^{6} = -64 $. Para encontrar as raízes, vamos trabalhar no conjunto dos números complexos.

Passo 3

Vamos escrever o número -64 na forma polar. Sabemos que -64 pode ser representado como $ 64 $ com um ângulo de $ \pi $ radianos (ou 180 graus). Então, na forma polar:
64

Passo 4

Agora, para encontrar as 6 raízes de $ z^{6} = -64 $, usamos a fórmula das raízes $ n $-ésimas de um número complexo:
z^6 = -64
Calculando:
n
Então,
zk = raiz[6]64 ( cos( pi + 2pi k6 ) + i sin( pi + 2pi k6 ) ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Passo 5

Vamos calcular cada uma das raízes substituindo os valores de $ k $:
  • Para $ k = 0 $:
k
  • Para $ k = 1 $:
k = 0
  • Para $ k = 2 $:
z0 = 2 ( cos( pi6 ) + i sin( pi6 ) ) = 2 ( raiz32 + i 12 ) = raiz3 + i
  • Para $ k = 3 $:
k = 1
  • Para $ k = 4 $:
z1 = 2 ( cos( pi6 + pi3 ) + i sin( pi6 + pi3 ) ) = 2 ( cos( pi2 ) + i sin( pi2 ) ) = 2i
  • Para $ k = 5 $:
k = 2

Resposta

Assim, a decomposição do polinômio $ P(z) = z^{6} + 64 $ em fatores de grau 1 fica:
P(z) = z^6 + 64

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