Prove que
é raiz
-ésima primitiva da unidade se, e somente se,
e
forem primos entre si. Em consequência, sendo
, as raízes primitivas são sempre em número maior do que 1 ; exatamente
se
for um número primo.
Passo 1
A questão é sobre as raízes n-ésimas da unidade no plano complexo e quando elas são primitivas, ou seja, têm ordem exatamente n. Para resolver, vamos precisar de conceitos de número complexo (forma trigonométrica) e de teoria dos números (máximo divisor comum).
Passo 2
Primeiro, veja que para qualquer inteiro k, definimos
. Pela fórmula de De Moivre, elevando
à potência
obtemos:
Isso mostra que
Passo 3
Uma raiz n-ésima da unidade
é dita primitiva se sua ordem multiplicativa for exatamente n, ou seja, se
só ocorrer quando
for múltiplo de
. Em outras palavras, o menor
com
deve ser
.
Passo 4
Suponha que
. Então escrevemos
e
, com
. Nesse caso, para
temos:
Como
Passo 5
Agora, suponha que
. Seja
o menor inteiro positivo tal que
. Então
implica
é múltiplo de
, ou seja,
. Como
, segue que
, isto é,
divide
. Pelo menorismo de
, temos
. Logo a ordem de
é exatamente
e
é primitiva.
Passo 6
Em consequência, o número de raízes primitivas n-ésimas da unidade é a quantidade de inteiros
tais que
. Esse número é a função totiente de Euler
. Para
é sempre
. Em particular, se
é primo, então
.