Prove que omega=cos (2 k pi / n)+isen(2 k pi / n) é raiz n-ésima primitiva da unidade se, e somente se, k e n forem primos entre si. Em consequência, sendo n>2, as raízes primitivas são sempre em número maior do que 1 ; exatamente n-1 se n for um número primo.

Passo 1

A questão é sobre as raízes n-ésimas da unidade no plano complexo e quando elas são primitivas, ou seja, têm ordem exatamente n. Para resolver, vamos precisar de conceitos de número complexo (forma trigonométrica) e de teoria dos números (máximo divisor comum).

Passo 2

Primeiro, veja que para qualquer inteiro k, definimos omega=cosl(2kpi/nr)+isinl(2kpi/nr). Pela fórmula de De Moivre, elevando omega à potência n obtemos:
omega^n=l(costfrac2kpin+isintfrac2kpinr)^n=cos(2kpi)+isin(2kpi)=1
Isso mostra que omega é sempre uma raiz n-ésima da unidade.

Passo 3

Uma raiz n-ésima da unidade omega é dita primitiva se sua ordem multiplicativa for exatamente n, ou seja, se omega^m=1 só ocorrer quando m for múltiplo de n. Em outras palavras, o menor m>0 com omega^m=1 deve ser n.

Passo 4

Suponha que d=gcd(k,n)>1. Então escrevemos k=d,k' e n=d,n', com k',n'inZ. Nesse caso, para m=n' temos:
omega^n'=cosl(2kpin'nr)+isinl(2kpin'nr)=cosl(2k'pir)+isinl(2k'pir)=1
Como n'=n/d, concluímos que omega não atinge ordem n, logo não é primitiva.

Passo 5

Agora, suponha que gcd(k,n)=1. Seja m o menor inteiro positivo tal que omega^m=1. Então omega^m=cosl(2kpitfrac m nr)+isinl(2kpitfrac m nr)=1implica 2k mpi/n é múltiplo de 2pi, ou seja, kmequiv0pmod n. Como gcd(k,n)=1, segue que mequiv0pmod n, isto é, n divide m. Pelo menorismo de m, temos m=n. Logo a ordem de omega é exatamente n e omega é primitiva.

Passo 6

Em consequência, o número de raízes primitivas n-ésimas da unidade é a quantidade de inteiros kin1,2,dots,n tais que gcd(k,n)=1. Esse número é a função totiente de Euler varphi(n). Para n>2 é sempre varphi(n)>1. Em particular, se n é primo, então varphi(n)=n-1.

Resposta

omega=cosl(2kpi/nr)+isinl(2kpi/nr) é raiz n-ésima primitiva da unidade se, e somente se, gcd(k,n)=1. O número de raízes primitivas é varphi(n), que para n>2 satisfaz varphi(n)>1 e, se n é primo, vale varphi(n)=n-1.

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