1. Decomponha o vetor v=(-1,2,-3) em dois vetores a e b tais que a | w e b perp w, com w=(2,1,-1). Resp: a=(1, 12,-12) e b=(-2, 32,-52)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor
v=(-1,2,-3)
como soma de um componente paralelo a w=(2,1,-1) e outro perpendicular a w. Isso é justamente decompor em
v=a+b,
com aparal<=lw e bperpw. Para isso usamos a fórmula da projeção de v sobre w.

Passo 2

Calculamos os produtos internos necessários para a projeção:
vcdotw =(-1)cdot2 + 2cdot1 + (-3)cdot(-1) =-2+2+3 =3,
wcdotw =2^2+1^2+(-1)^2 =4+1+1 =6

Passo 3

A componente paralela é
a =projwv =vcdotwwcdotw;w =36(2,1,-1) =(1,tfrac12,-tfrac12)

Passo 4

A componente perpendicular vem de
b =v-a =(-1,2,-3)-(1,tfrac12,-tfrac12) =(-2,tfrac32,-tfrac52)

Resposta

a=l(1,tfrac12,-tfrac12r),
b=l(-2,tfrac32,-tfrac52r).

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