Os professores de seis disciplinas (entre as quais Português e Matemática) devem escolher um dia de segunda a sexta, de uma única semana para a realização da prova de sua disciplina. Suponha que cada professor escolha o seu dia ao acaso, sem combinar com os demais professores.
a) Qual é a probabilidade de que as provas de matemática e português sejam realizadas no mesmo dia.
b) Qual é a probabilidade de que os alunos façam provas em todos os dias da semana.

Passo 1

O enunciado diz que seis professores escolhem, de forma independente e uniforme, um dia entre segunda e sexta (5 dias) para aplicar suas provas.
Conteúdos usados: probabilidade de eventos independentes (item a) e contagem de distribuições com reposição + princípio da inclusão-exclusão para obter funções sobrejetoras (item b).

Passo 2

Para (a), Matemática e Português são dois eventos independentes que escolhem dias em 1,2,3,4,5. A probabilidade de coincidirem é
P(mesmo dia) =sumk=1^5P(M=k)P(P=k) =5cdot15cdot15 =15

Passo 3

Para (b), o número total de maneiras de atribuir dias aos 6 professores é
5^6,
pois cada um escolhe um dos 5 dias independentemente.

Passo 4

O número de atribuições em que aparecem todos os 5 dias pelo menos uma vez é, por inclusão-exclusão,
Nfav =5^6 -binom514^6 +binom523^6 -binom532^6 +binom541^6

Passo 5

Calculando cada termo:
5^6=15625, binom514^6=5cdot4096=20480,
binom523^6=10cdot729=7290, binom532^6=10cdot64=640, binom541^6=5cdot1=5
Logo
Nfav =15625-20480+7290-640+5 =1800
Portanto, a probabilidade pedida é
18005^6 =180015625 =72625

Resposta

(a) tfrac15
(b) tfrac72625

Exercícios relacionados