Determine o domínio e esboce o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico de
f(x)=l|x^2-4r|
O conteúdo envolve funções definidas por valor absoluto e parábolas.
Passo 2
O domínio de f é o conjunto de todos os x em que x^2-4 e o valor absoluto estão definidos. Como x^2-4 está definido para todo xinR e lvert,cdot,rvert também, temos
Dom,f=R
Passo 3
Para esboçar o gráfico, identificamos onde o argumento do valor absoluto é não-negativo ou negativo:
x^2-4>=0iff|x|>=2, x^2-4<0iff|x|<2
Assim escrevemos f de forma piecewise:
f(x)= x^2-4,&|x|>=2, 4-x^2,&|x|<2
Passo 4
No ramo |x|>=2, temos f(x)=x^2-4, que é uma parábola com concavidade para cima. Nos pontos de transição:
f(pm2)=(pm2)^2-4=0
Para xtopminfty, f(x)to+infty.
Passo 5
No ramo |x|<2, temos f(x)=4-x^2, que é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice é
(0,;f(0))=(0,4),
e as raízes estão em x=pm2.
Passo 6
Unindo os dois ramos, o gráfico é contínuo, com
pico em (0,4),
mínimos em (-2,0) e (2,0),
para |x|<2 concavidade para baixo (y=4-x^2),
para |x|>2 concavidade para cima (y=x^2-4).
Resposta
Domínio: R.
O gráfico é o ramo da parábola y=4-x^2 em [-2,2] (vértice em (0,4), zeros em (-2,0) e (2,0)) continuado pelos ramos de y=x^2-4 para x<=-2 e x>=2, unidos de forma contínua em (-2,0) e (2,0).