Decompor em factores os pollnómios seguintes:
14.
Resp.
.
14.
Passo 1
O enunciado pede: decompor em fatores o polinómio
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O polinómio é
. - Quer-se a factorização (presumivelmente sobre os reais, já que a resposta apresentada usa
).
Passo 2
Identificar padrões úteis: diferença de quadrados.
Fórmula básica (que vou usar): para quaisquer números ou expressões e
,
Fórmula básica (que vou usar): para quaisquer números ou expressões
Aqui cada símbolo significa:
-
e são expressões quaisquer (podem ser , , constantes, etc.); - o lado esquerdo é a diferença entre o quadrado de
e o quadrado de ; - o lado direito dá a factorização em dois binómios.
Exemplo rápido para fixar:
e
. Mesmo resultado.
Passo 3
Aplicar o padrão ao nosso polinómio: escrever
como diferença de quadrados. Note que
e
, logo
Usando a fórmula da diferença de quadrados com
e
,
Passo 4
Verificar se algum dos factores pode ser factorizado mais:
é também uma diferença de quadrados porque
. Aplicando novamente a fórmula com
e
,
O outro factor
não se factoriza em factores lineares com coeficientes reais (tem raízes complexas
), por isso ficará como está se a factorização for sobre
.
Passo 5
Juntar os resultados: substituindo
factorado na expressão do Passo 3,
Passo 6
Verificação final por multiplicação (para garantir que não houve erro): primeiro
. Depois
como era de esperar. Dica para a prova: sempre que vires uma potência par menos outra potência (por ex.
,
), experimenta a diferença de quadrados; muitas vezes permite reduzir o grau passo a passo.