Decompor em factores os pollnómios seguintes:
14. f(x)=x^{4}-1 . \quad Resp. f(x)=(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede: decompor em fatores o polinómio f(x)=x^{4}-1.
Informações dadas:
  • O polinómio é f(x)=x^{4}-1.
  • Quer-se a factorização (presumivelmente sobre os reais, já que a resposta apresentada usa x^{2}+1).

Passo 2

Identificar padrões úteis: diferença de quadrados.
Fórmula básica (que vou usar): para quaisquer números ou expressões a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui cada símbolo significa:
  • a e b são expressões quaisquer (podem ser x, x^{2}, constantes, etc.);
  • o lado esquerdo é a diferença entre o quadrado de a e o quadrado de b;
  • o lado direito dá a factorização em dois binómios.
Exemplo rápido para fixar: (3^{2}-2^{2})=(9-4)=5 e (3-2)(3+2)=1\cdot5=5. Mesmo resultado.

Passo 3

Aplicar o padrão ao nosso polinómio: escrever x^{4}-1 como diferença de quadrados. Note que (x^{2})^{2}=x^{4} e 1^{2}=1, logo
x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}.
Usando a fórmula da diferença de quadrados com a=x^{2} e b=1,
x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1).

Passo 4

Verificar se algum dos factores pode ser factorizado mais: x^{2}-1 é também uma diferença de quadrados porque x^{2}-1=x^{2}-1^{2}. Aplicando novamente a fórmula com a=x e b=1,
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
O outro factor x^{2}+1 não se factoriza em factores lineares com coeficientes reais (tem raízes complexas \pm i), por isso ficará como está se a factorização for sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Juntar os resultados: substituindo x^{2}-1 factorado na expressão do Passo 3,
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 6

Verificação final por multiplicação (para garantir que não houve erro): primeiro (x-1)(x+1)=x^{2}-1. Depois
(x^{2}-1)(x^{2}+1)=x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot 1-1\cdot x^{2}-1\cdot1 = x^{4}+x^{2}-x^{2}-1 = x^{4}-1,
como era de esperar. Dica para a prova: sempre que vires uma potência par menos outra potência (por ex. x^{4}-y^{4}, a^{2}-b^{2}), experimenta a diferença de quadrados; muitas vezes permite reduzir o grau passo a passo.

Resposta

f(x)=(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)

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