1. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-3}}{\sqrt[3]{x^{3}+1}} . Resp. 1 .

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-3}}{\sqrt[3]{x^{3}+1}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • Numerador: \sqrt{x^{2}-3}.
  • Denominador: \sqrt[3]{x^{3}+1}.
  • Objetivo: calcular o limite numérico dessa expressão quando x cresce sem limite.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para limites quando x\to+\infty de frações que envolvem potências, raízes, etc., costuma-se retirar o fator dominante (o termo de maior potência) de cada radical para expor a dependência em potências de x. Isso permite simplificar e ver claramente para que valor a expressão converge.

Passo 3

Trabalhando o numerador: fatorar x^{2} dentro da raiz quadrada.
\sqrt{x^{2}-3}=\sqrt{x^{2}\Bigl(1-\frac{3}{x^{2}}\Bigr)}.
Usando a propriedade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b}, obtemos
\sqrt{x^{2}-3}= \sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}.
Explicação importante sobre \sqrt{x^{2}}: para todo x real tem-se \sqrt{x^{2}}=|x|. Como estamos no caso x\to+\infty, temos x>0 para x suficientemente grande, então |x|=x. Portanto, para x grande,
\sqrt{x^{2}-3}= x\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}.

Passo 4

Trabalhando o denominador: fatorar x^{3} dentro da raiz cúbica.
\sqrt[3]{x^{3}+1}=\sqrt[3]{x^{3}\Bigl(1+\frac{1}{x^{3}}\Bigr)}.
Usando \sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} e \sqrt[3]{x^{3}}=x (note que para cúbica não aparece valor absoluto, pois a raiz cúbica de x^3 é x para todo real),
\sqrt[3]{x^{3}+1}= x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}.

Passo 5

Substituir as expressões fatoradas na fração e simplificar o fator x que aparece em numerador e denominador:
\frac{\sqrt{x^{2}-3}}{\sqrt[3]{x^{3}+1}} = \frac{x\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}}{x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}}.
Justificativa da simplificação: para x suficientemente grande temos x\neq 0, então o cancelamento de x é válido.

Passo 6

Calcular os limites dos fatores residuais. Observe primeiro os limites internos:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1-\frac{3}{x^{2}}\Bigr)=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x^{3}}\Bigr)=1.
As funções \sqrt{\cdot} e \sqrt[3]{\cdot} são contínuas no ponto 1, portanto pode-se passar o limite para dentro das raízes:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}=\sqrt{1}=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}=\sqrt[3]{1}=1.

Passo 7

Usando que o limite de uma razão é a razão dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{1}=1.
Portanto o limite pedido vale 1.

Passo 8

Dica prática para prova (resumão): sempre retire a maior potência de x adequada ao radical (a raiz quadrada = fator x^{2}; raiz cúbica = fator x^{3}), simplifique os fatores x e avalie os limites das expressões que ficam do tipo 1+\text{(coisa que vai a }0). Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+5}}{x}=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+7}}{x}=1.
    Esses seguem exatamente o mesmo raciocínio que usamos acima.

Resposta

1

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