-
. Resp. 1 .
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: calcular o limite numérico dessa expressão quando
cresce sem limite.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para limites quando
de frações que envolvem potências, raízes, etc., costuma-se retirar o fator dominante (o termo de maior potência) de cada radical para expor a dependência em potências de
. Isso permite simplificar e ver claramente para que valor a expressão converge.
Passo 3
Trabalhando o numerador: fatorar
dentro da raiz quadrada.
Usando a propriedade
, obtemos
Explicação importante sobre
: para todo
real tem-se
. Como estamos no caso
, temos
para
suficientemente grande, então
. Portanto, para
grande,
Passo 4
Trabalhando o denominador: fatorar
dentro da raiz cúbica.
Usando
e
(note que para cúbica não aparece valor absoluto, pois a raiz cúbica de
é
para todo real),
Passo 5
Substituir as expressões fatoradas na fração e simplificar o fator
que aparece em numerador e denominador:
Justificativa da simplificação: para
suficientemente grande temos
, então o cancelamento de
é válido.
Passo 6
Calcular os limites dos fatores residuais. Observe primeiro os limites internos:
As funções
e
são contínuas no ponto
, portanto pode-se passar o limite para dentro das raízes:
Passo 7
Usando que o limite de uma razão é a razão dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero), obtemos
Portanto o limite pedido vale
.
Passo 8
Dica prática para prova (resumão): sempre retire a maior potência de
adequada ao radical (a raiz quadrada = fator
; raiz cúbica = fator
), simplifique os fatores
e avalie os limites das expressões que ficam do tipo
. Exemplos rápidos:
-
. -
.
Esses seguem exatamente o mesmo raciocínio que usamos acima.