1. Achar as equações das tangentes ao círculo x^{2}+y^{2}=52 que são paralelas à recta 2 x+3 y=6. Resp. 2 x+3 y \pm 26=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A circunferência é x^{2}+y^{2}=52.
  • A recta dada é 2x+3y=6.
  • Pede-se: achar as equações das rectas que são tangentes à circunferência e paralelas à recta 2x+3y=6.

Passo 2

Entendendo o que significa "rectas paralelas à 2x+3y=6":
  • Duas rectas são paralelas quando têm o mesmo vetor normal (ou o mesmo coeficiente angular). A equação 2x+3y=6 tem coeficientes a=2 e b=3, ou seja, seu vector normal é (2,3).
  • Portanto toda recta paralela pode ser escrita na forma
2x+3y+c=0,
onde c é um parâmetro real que desloca a recta sem alterar a direcção.

Passo 3

Condição de tangência entre uma recta e a circunferência centrada em (0,0):
  • A circunferência x^{2}+y^{2}=52 tem centro O=(0,0) e raio
r=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
  • Uma recta é tangente à circunferência se, e só se, a distância do centro O à recta for exactamente o raio r.
  • Fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à recta ax+by+c=0:
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aqui a=2, b=3 e o ponto é (0,0), logo a distância do centro à recta 2x+3y+c=0 é
\text{dist}=\frac{|c|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{|c|}{\sqrt{13}}.

Passo 4

Impor a condição de tangência: a distância deve ser igual ao raio:
\frac{|c|}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}.
Resolver para c:
|c|=2\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}=2\cdot 13=26.
Portanto c=26 ou c=-26.

Passo 5

Escrever as equações das rectas correspondentes substituindo os valores de c na forma 2x+3y+c=0:
  • Para c=26: 2x+3y+26=0.
  • Para c=-26: 2x+3y-26=0.

Resposta

2x+3y+26=0
2x+3y-26=0

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