Ao decompor o quociente x^2-4(x-1)^3 encontraremos
Alternativas:
& 1x-1-2(x-1)^2-3(x-1)^3 & 1x-1+2(x-1)^2-3(x-1)^3 & 1x-1+2(x-1)^2+3(x-1)^3 & -1x-1+2(x-1)^2-3(x-1)^3 & 1x-1-2(x-1)^2+3(x-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decompor o quociente x^2-4(x-1)^3. Isso faz parte da matéria de frações parciais, que é usada para simplificar frações algébricas tornando-as mais fáceis de trabalhar, especialmente quando queremos integrar ou resolver equações. Para resolver isso, precisamos entender como expressar a fração dada como uma soma de frações com denominadores mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um denominador elevado a uma potência, como (x-1)^3, a decomposição das frações parciais envolve termos com denominadores (x-1), (x-1)^2 e (x-1)^3. Então, podemos supor que a fração pode ser escrita assim:
x^2-4(x-1)^3 = Ax-1 + B(x-1)^2 + C(x-1)^3
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)^3 para eliminar as frações:
x^2 - 4 = A(x-1)^2 + B(x-1) + C
Agora, expandimos o lado direito da equação:
x^2 - 4 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x - 1) + C
Distribuindo os A e B:
x^2 - 4 = A x^2 - 2A x + A + B x - B + C

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
x^2 - 4 = (A) x^2 + (-2A + B) x + (A - B + C)
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Coeficiente de x^2: A = 1
  2. Coeficiente de x: -2A + B = 0
  3. Termo constante: A - B + C = -4

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Já sabemos que A = 1.
  2. Substituindo A na segunda equação:
    -2(1) + B = 0
    -2 + B = 0
    B = 2
  3. Substituindo A e B na terceira equação:
    1 - 2 + C = -4
    -1 + C = -4
    C = -3

Resposta

Então, a decomposição das frações parciais é:
x^2-4(x-1)^3 = 1x-1 + 2(x-1)^2 - 3(x-1)^3
A alternativa correta é:
1x-1+2(x-1)^2-3(x-1)^3

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