Ao decompor o quociente \frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos x-\frac{2}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4}
Passo 1
O enunciado pede para decompor em frações parciais o quociente
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}
Isso envolve dois conteúdos principais: divisão de polinômios (para separar parte polinomial e resto) e decomposição em frações parciais sobre o denominador fatorado x(x^2+4).
Passo 2
Fazemos a divisão de \displaystyle x^4+3x^2-x-8 por \displaystyle x^3+4x.
O quociente é x e o resto é
\bigl(x^4+3x^2-x-8\bigr)-x\cdot\bigl(x^3+4x\bigr)
= -x^2 - x - 8.
Assim
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}
= x + \frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)}.
Passo 3
Para decompor \displaystyle \frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)}
escrevemos