Ao decompor o quociente
\frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos
x-\frac{2}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais o quociente
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}
Isso envolve dois conteúdos principais: divisão de polinômios (para separar parte polinomial e resto) e decomposição em frações parciais sobre o denominador fatorado x(x^2+4).

Passo 2

Fazemos a divisão de
\displaystyle x^4+3x^2-x-8 por \displaystyle x^3+4x.
O quociente é x e o resto é
\bigl(x^4+3x^2-x-8\bigr)-x\cdot\bigl(x^3+4x\bigr) = -x^2 - x - 8.
Assim
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x + \frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)}.

Passo 3

Para decompor
\displaystyle \frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)}
escrevemos
\frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+4}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x^2+4)\) e obtemos a identidade \[-x^2 - x - 8 = A(x^2+4) + (Bx + C)x = (A+B)x^2 + Cx + 4A.
Comparando coeficientes em x^2, x e termo constante:
\begin{cases} A + B = -1,\\\ C = -1,\\\\ 4A = -8, \end{cases}
A=-2\], \(B=1, C=-1.

Passo 5

Substituindo A, B e C na decomposição parcial, concluímos
\frac{-x^2 - x - 8}{x(x^2+4)} = -\frac{2}{x} + \frac{x - 1}{x^2+4}.
Logo a decomposição completa é
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x - \frac{2}{x} + \frac{x - 1}{x^2+4}.

Resposta

x - \frac{2}{x} + \frac{x - 1}{x^2+4}

Exercícios relacionados