Ao decompor o quociente
\frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos
x-\frac{2}{x}-\frac{x-1}{x^{2}+4}

Passo 1

Queremos decompor em frações parciais a função
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}.
O conteúdo envolve divisão polinomial e em seguida decomposição em frações parciais usando a fatoração do denominador x^{3}+4x=x(x^{2}+4).

Passo 2

Fazemos primeiro a divisão de polinômios \tfrac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}.
  1. Dividendo: x^{4}+3x^{2}-x-8
  2. Divisor: x^{3}+4x
  3. O quociente inicial é
x,\quad\text{pois}\;\frac{x^{4}}{x^{3}}=x.
  1. Multiplicamos o divisor por x:
x\,(x^{3}+4x)=x^{4}+4x^{2}.
  1. Subtraímos do dividendo:
(x^{4}+3x^{2}-x-8)-(x^{4}+4x^{2})=-x^{2}-x-8.
Logo
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x + \frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)}.

Passo 3

Agora decompondo
\frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)}
em
\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4), obtemos a identidade
-x^{2}-x-8 = A(x^{2}+4)+(Bx+C)\,x = (A+B)x^{2}+C\,x+4A.

Passo 4

Comparando coeficientes em
(A+B)x^{2}+C\,x+4A = -x^{2}-x-8\), temos o sistema \[\begin{cases} A+B=-1,\\\ C=-1,\\\\ 4A=-8. \end{cases}
Da terceira equação vem A=-2\]. Da primeira, \(B=-1 - A = -1 -(-2)=1.
E da segunda, C=-1.

Passo 5

Substituindo A, B e C obtemos
\frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)} = \frac{-2}{x}+\frac{1\cdot x +(-1)}{x^{2}+4} = -\frac{2}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4}.
Portanto a decomposição final é
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x - \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.

Resposta

x - \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.

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