Ao decompor o quociente
\frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos
x+\frac{2}{x}-\frac{x-1}{x^{2}+4}

Passo 1

Estamos diante da fração racional
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x},
e queremos decompor em soma de polinômio e frações parciais. Para isso usaremos divisão de polinômios e, em seguida, o método de frações parciais (teoria de decomposição em partes simples).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+4x \;=\; x\,(x^{2}+4).
Em seguida, dividimos x^{4}+3x^{2}-x-8 por x^{3}+4x usando divisão de polinômios. O quociente é
x
porque \displaystyle x^{4}\big/\!x^{3}=x. Ao multiplicar o divisor por x e subtrair obtemos o resto
(x^{4}+3x^{2}) - (x^{4}+4x^{2}) = -x^{2},
e, trazendo os termos seguintes, o resto completo é
-\,x^{2}-x-8,
que tem grau menor que 3. Logo
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x \;+\; \frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)}.

Passo 3

Escrevemos a parte fracionária como
\frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)} = -\,\frac{x^{2}+x+8}{x\,(x^{2}+4)}.
Agora propomos a decomposição em frações parciais
\frac{x^{2}+x+8}{x\,(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} \;+\;\frac{B\,x + C}{x^{2}+4}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x\,(x^{2}+4)\), obtendo a identidade polinomial \[x^{2}+x+8 = A\,(x^{2}+4) + (B\,x + C)\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Comparando coeficientes em x^{2},x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 1,\\\ C = 1,\\\\ 4A = 8, \end{cases}
logo A=2\], \(B=-1 e C=1.

Passo 5

Substituindo A,B,C no ansatz e lembrando do sinal “ -” da Passo 3, temos
-\,\frac{x^{2}+x+8}{x\,(x^{2}+4)} = -\Bigl(\frac{2}{x} + \frac{-\,x+1}{x^{2}+4}\Bigr) = -\frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.

Passo 6

Juntando com o quociente x, a decomposição final é
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x \;-\;\frac{2}{x}\;+\;\frac{x-1}{x^{2}+4}.

Resposta

\boxed{x \;-\;\frac{2}{x}\;+\;\frac{x-1}{x^{2}+4}}

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