Ao decompor o quociente \frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos x+\frac{2}{x}-\frac{x-1}{x^{2}+4}
Passo 1
Estamos diante da fração racional
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x},
e queremos decompor em soma de polinômio e frações parciais. Para isso usaremos divisão de polinômios e, em seguida, o método de frações parciais (teoria de decomposição em partes simples).
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+4x \;=\; x\,(x^{2}+4).
Em seguida, dividimos x^{4}+3x^{2}-x-8 por x^{3}+4x usando divisão de polinômios. O quociente é
x
porque \displaystyle x^{4}\big/\!x^{3}=x. Ao multiplicar o divisor por x e subtrair obtemos o resto
(x^{4}+3x^{2}) - (x^{4}+4x^{2}) = -x^{2},
e, trazendo os termos seguintes, o resto completo é
-\,x^{2}-x-8,
que tem grau menor que 3. Logo
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x \;+\; \frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)}.