A taxa de crescimento de bactérias em uma solução nutritiva é modelada por B(t)= \frac{500 t}{t+2}. Calcule a taxa de crescimento B^{\prime}(t) e interprete seu valor para t=4 horas.

Passo 1

O enunciado dá a função
B(t) = \frac{500\,t}{t+2},
que representa o número de bactérias em função do tempo t (em horas). Queremos calcular a taxa instantânea de crescimento, ou seja, a derivada B'(t), e depois interpretar esse valor em t=4 horas. Para isso vamos usar a regra do quociente de derivação.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, se
B(t)=\frac{N(t)}{D(t)} \quad\text{com}\quad N(t)=500\,t \quad\text{e}\quad D(t)=t+2,
então
B'(t) =\frac{N'(t)\,D(t)-N(t)\,D'(t)}{\bigl(D(t)\bigr)^2} =\frac{500\,(t+2)-500\,t\cdot1}{(t+2)^2} =\frac{500t+1000-500t}{(t+2)^2} =\frac{1000}{(t+2)^2}.

Passo 3

Para t=4 horas temos
B'(4)=\frac{1000}{(4+2)^2}=\frac{1000}{6^2}=\frac{1000}{36}=\frac{250}{9}\approx27{,}78.
Isso significa que, no instante t=4 horas, o número de bactérias está aumentando a uma taxa de aproximadamente 27{,}78 bactérias por hora.

Resposta

B'(t)=\frac{1000}{(t+2)^2}, \quad B'(4)=\frac{250}{9}\approx27{,}78\text{ bactérias/hora.}é

Exercícios relacionados