A decomposição de um fármaco segue uma cinética de primeira ordem. A constante de velocidade (k) da reação, medida a 25^{\circ} \mathrm{C}, é de 1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~min}^{-1}. Ao aumentar a temperatura para 37^{\circ} \mathrm{C} (temperatura corporal), a constante de velocidade dobra.
a) Calcule a energia de ativação (Ea) da reação de decomposição do fármaco, utilizando a equação de Arrhenius.
b) Explique, em termos moleculares, por que o aumento da temperatura leva ao aumento da constante de velocidade.
c) Se a temperatura aumentar para 50^{\circ} \mathrm{C}, quão mais rápida será a reação de decomposição do fármaco diante da reação a 25^{\circ} \mathrm{C}, admitindo que não há alteração no fator de frequência?
Dado: \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá informações claras. Vou listar tudo para não nos perder.
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Calcular a energia de ativação \,E_a, da reação, usando a equação de Arrhenius.
    2. (b) Explicar, em termos moleculares, por que o aumento da temperatura aumenta a constante de velocidade.
    3. (c) Calcular quanto mais rápida será a reação a 50^\circ\mathrm{C} em relação a 25^\circ\mathrm{C}, assumindo que o fator de frequência não muda.
  • Dados fornecidos:
    • Constante de velocidade a 25^\circ\mathrm{C}: \,k_1 = 1{,}2\times 10^{-3}\,\mathrm{min}^{-1}.
    • A 37^\circ\mathrm{C} a constante dobra: \,k_2 = 2k_1.
    • Constante dos gases: \,R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
    • Temperaturas dadas em graus Celsius: 25^\circ\mathrm{C}, 37^\circ\mathrm{C}, 50^\circ\mathrm{C}. Lembraremos de converter para Kelvin somando 273{,}15.
Observações importantes que vou usar depois (não resolvo ainda):
  • Vou usar a equação de Arrhenius \,k = A \mathrm{e}^{-E_a/(R T)}, onde A é o fator de frequência (pré-exponencial), E_a é a energia de ativação, R é a constante dos gases e T é a temperatura em Kelvin.
  • Para comparar velocidades em duas temperaturas sem conhecer A, uso a razão k_2/k_1 = \exp\!\big[-\dfrac{E_a}{R}\big(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\big)\big].

Passo 2

Converter as temperaturas para Kelvin (passo obrigatório e simples).
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}
T_2 = 37^\circ\mathrm{C} = 37 + 273{,}15 = 310{,}15\\ \mathrm{K}
T_3 = 50^\circ\mathrm{C} = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}
Explico por que: a escala Kelvin é a escala absoluta exigida na equação de Arrhenius porque a dependência exponencial usa a energia térmica média proporcional a k_B T (ou R T por mol).

Passo 3

Escrever a relação entre k_1 e k_2 usando Arrhenius e isolar E_a.
A equação de Arrhenius é
k = A \mathrm{e}^{-E_a/(R T)}.
Tomando a razão entre k_2 e k_1 (assumindo mesmo A nas duas temperaturas),
\frac{k_2}{k_1} = \exp\!\left[-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right].
Aplicamos o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Isolando E_a:
E_a = -R \,\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos para calcular E_a. O enunciado diz que \,k_2 = 2k_1, então \ln(k_2/k_1)=\ln 2.
Calcular a diferença de recíprocos das temperaturas (vou mostrar os valores numéricos para você poder acompanhar cada etapa):
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{310{,}15} \approx 0{,}0032232349\\ \mathrm{K^{-1}}
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{298{,}15} \approx 0{,}0033540164\\ \mathrm{K^{-1}}
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} \approx -0{,}0001307815\\ \mathrm{K^{-1}}
Agora calcular E_a:
E_a = - (8{,}314)\,\frac{\ln 2}{-0{,}0001307815}
\ln 2 \approx 0{,}693147
E_a \approx \frac{8{,}314\times 0{,}693147}{0{,}0001307815}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
E_a \approx 4{,}41\times 10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx 44{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
Explicação didática rápida do passo: fizemos algebra simples sobre exponenciais; o sinal negativo some porque \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1} é negativo quando T_2>T_1, garantindo que E_a fique positivo.

Passo 5

A resposta à parte (b): explicação molecular, bem mastigada e sem jargões.
  • As moléculas em uma amostra têm uma distribuição de energias cinéticas descrita pela distribuição de Maxwell–Boltzmann. Em qualquer temperatura existe um conjunto de colisões com diferentes energias; só as colisões cujas energias (ou combinação de energias internas) alcançam ou superam a barreira energética E_a podem reagir para formar produtos.
  • Aumentar a temperatura move essa distribuição para energias maiores: mais moléculas ocupam a cauda de alta energia. Assim, a fração de moléculas com energia ≥ E_a cresce exponencialmente quando T aumenta.
  • Além disso, com temperatura maior as colisões são, em média, mais energéticas e levemente mais frequentes, melhorando a probabilidade de reagir quando as moléculas têm a orientação adequada.
  • Em linguagem simples: subir a temperatura coloca mais “carteiras” com a grana necessária para pagar a barreira da reação — logo, mais reações por unidade de tempo, ou seja, k aumenta.
Vou reforçar com uma frase curta: o aumento de k vem do aumento exponencial da fração de moléculas com energia suficiente para superar E_a (distribuição de Maxwell–Boltzmann) e do aumento da energia das colisões.

Passo 6

Resolver a parte (c): calcular a razão k_3/k_1 entre a constante a 50^\circ\mathrm{C} ( T_3) e a 25^\circ\mathrm{C} ( T_1), assumindo A constante.
Usamos novamente:
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right).
Já temos E_a \approx 4{,}41\times 10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}. Calcular os recíprocos:
\frac{1}{T_3} = \frac{1}{323{,}15} \approx 0{,}0030959750\\ \mathrm{K^{-1}}
\frac{1}{T_1} = 0{,}0033540164\\ \mathrm{K^{-1}} \quad(\text{já calculado})á
\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1} \approx -0{,}0002580414\\ \mathrm{K^{-1}}
Agora a conta:
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right) \approx -\frac{4{,}41\times 10^{4}}{8{,}314}\times (-0{,}0002580414)
Calcule passo a passo:
\frac{4{,}41\times 10^{4}}{8{,}314} \approx 5302{,}0
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right) \approx 5302{,}0\times 0{,}0002580414 \approx 1{,}367
\frac{k_3}{k_1} = \exp(1{,}367) \approx 3{,}92
Interpretação: a reação a 50^\circ\mathrm{C} será aproximadamente 3{,}9 vezes mais rápida do que a reação a 25^\circ\mathrm{C}, sob a hipótese de que A não muda.

Resposta

(a) E_a \approx 4{,}41\times 10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx 44{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
(b) O aumento de temperatura aumenta a fração de moléculas com energia ≥ E_a (distribuição de Maxwell–Boltzmann) e torna as colisões mais energéticas, logo mais moléculas conseguem superar a barreira de ativação e reagir; por isso k cresce.
(c) A 50^\circ\mathrm{C} a reação será aproximadamente 3{,}9 vezes mais rápida que a reação a 25^\circ\mathrm{C}.

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