A decomposição do \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} em solução de \mathrm{CCl}_{4} para formar \mathrm{NO}_{2} e \mathrm{O}_{2} foi estudada a 30^{\circ} \mathrm{C}. A partir dos resultados, determine:
Tempo (min) 0 80 160 240 320
\left[\mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{5}\right](\mathrm{mol} / \mathrm{L}) 0,170 0,116 0,078 0,053 0,036
(a) a ordem de reação, (b) a constante de velocidade e (c) o tempo de meia vida.

Passo 1

O enunciado dá a decomposição do \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} em \mathrm{CCl}_{4} a 30^\circ\mathrm{C} e fornece a tabela com concentrações em função do tempo. As perguntas são: (a) qual a ordem da reação, (b) qual a constante de velocidade e (c) qual o tempo de meia‑vida. Dados fornecidos:
\begin{array}{c|ccccc} \text{Tempo (min)} & 0 & 80 & 160 & 240 & 320\\hline \left[\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}\right]\\ (\mathrm{mol/L}) & 0,170 & 0,116 & 0,078 & 0,053 & 0,036 \end{array}

Passo 2

Como a ordem não é informada, vamos testar as formas integradas das leis de velocidade mais comuns (zero, primeira e segunda ordem). Vou escrever as fórmulas e explicar cada símbolo:
Zero ordem:
[A](t)=[A]_0 - k\,t,
onde [A](t) é a concentração no tempo t, [A]_0 é a concentração inicial e k é a constante de velocidade (unidade: \mathrm{mol\,L^{-1}\,min^{-1}} se t em minutos).
Primeira ordem:
\ln[A](t)=\ln[A]_0 - k\,t,
onde k tem unidade \mathrm{min}^{-1}. Nesse caso um gráfico de \ln[A] vs t é uma reta com declive -k.
Segunda ordem (para reação do tipo A + A \to produtos ou cinética aparente de segunda ordem):
\frac{1}{[A](t)}=\frac{1}{[A]_0}+k\,t,
onde k tem unidade \mathrm{L\,mol^{-1}\,min^{-1}}. Um gráfico de 1/[A] vs t é uma reta com declive +k.
Para identificar a ordem usaremos a propriedade de linearidade: calculamos \ln[A] e 1/[A] nos tempos dados e verificamos qual relação dá declive aproximadamente constante.

Passo 3

Calcular \ln[A] para cada tempo (usei logaritmo natural). Vou mostrar os valores aproximados (com vírgula decimal) usados nos cálculos:
\begin{array}{l} \ln\left(0,170\right) \approx -1,77196,\\\ \ln\left(0,116\right) \approx -2,15417,\\\ \ln\left(0,078\right) \approx -2,55105,\\\ \ln\left(0,053\right) \approx -2,93746,\\\ \ln\left(0,036\right) \approx -3,32424. \end{array}
Agora calculo os declives entre pontos adjacentes (declive aproximado = \Delta\ln[A]/\Delta t, com \Delta t=80 min em cada intervalo):
\begin{array}{l} \text{entre }0\text{ e }80:\quad \dfrac{-2,15417-(-1,77196)}{80}=-0,0047776\\ \mathrm{min}^{-1},\\[6pt] \text{entre }80\text{ e }160:\quad \dfrac{-2,55105-(-2,15417)}{80}=-0,0049610\\ \mathrm{min}^{-1},\\[6pt] \text{entre }160\text{ e }240:\quad \dfrac{-2,93746-(-2,55105)}{80}=-0,0048302\\ \mathrm{min}^{-1},\\[6pt] \text{entre }240\text{ e }320:\quad \dfrac{-3,32424-(-2,93746)}{80}=-0,0048347\\ \mathrm{min}^{-1}. \end{array}
Os declives são muito próximos entre si (todos ≈ -0,00485\\ \mathrm{min}^{-1}), o que indica que \ln[A] decresce linearmente com t. Portanto a reação segue cinética de primeira ordem (já que \ln[A] vs t é aproximadamente reta).
Como verificação rápida, também calculei 1/[A]:
\begin{array}{l} 1/0,170 \approx 5,8824\\ \mathrm{L\,mol^{-1}},\\\\ 1/0,116 \approx 8,6207,\\\\ 1/0,078 \approx 12,8205,\\\\ 1/0,053 \approx 18,8679,\\\\ 1/0,036 \approx 27,7778. \end{array}
Os incrementos de 1/[A] entre intervalos não são constantes por minuto, então a segunda ordem não se ajusta bem. Assim mantemos primeira ordem.]

Passo 4

Determinar k. Para primeira ordem a relação é
\ln[A]=\ln[A]_0 - k\,t,
ou seja o declive da reta \ln[A] vs t é -k. Para obter k com boa precisão uso o primeiro e o último ponto (maior intervalo reduz erro relativo):
k = -\dfrac{\ln[A](320)-\ln[A](0)}{320-0}.
Substituindo os valores:
k = -\dfrac{-3,32424 - (-1,77196)}{320} = -\dfrac{-1,55228}{320}=0,0048509\\ \mathrm{min}^{-1}.
Arredondando de forma apropriada: k \approx 0,00485\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 5

Determinar o tempo de meia‑vida. Para reação de primeira ordem a meia‑vida t_{1/2} independe da concentração inicial e é dada por
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k},
onde \ln 2 \approx 0,693147. Substituindo k:
t_{1/2}=\frac{0,693147}{0,0048509}\approx 142,95\\ \text{min}.
Arredondando: t_{1/2}\approx 143\\ \text{min}.

Resposta

(a) primeira ordem\n
(b) k \approx 0,00485\\ \mathrm{min}^{-1}\n
(c) t_{1/2} \approx 143\\ \text{min}

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