Os dados a seguir foram obtidos a 320^{\circ} \mathrm{C} para a reação: \quad \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2} \rightarrow \mathrm{SO}_{2}+\mathrm{Cl}_{2}.
Tempo (h) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
\left[\mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2}\right](\mathrm{mol} / \mathrm{L}) 1,200 1,109 1,024 0,946 0,874
Determine, mediante um método gráfico, (a) a ordem de reação, (b) a constante de velocidade a 320^{\circ} \mathrm{C} e (c) o tempo de meia vida.

Passo 1

O enunciado dá os concentrados de \mathrm{SO_2Cl_2} em diferentes tempos à 320^\circ\mathrm{C} para a reação \mathrm{SO_2Cl_2}\rightarrow\mathrm{SO_2}+\mathrm{Cl_2} e pede: (a) a ordem da reação, (b) a constante de velocidade a 320^\circ\mathrm{C} e (c) o tempo de meia‑vida. Os dados fornecidos estão na tabela abaixo (peguei todos os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} \text{Tempo (h)} & 0,00 & 1,00 & 2,00 & 3,00 & 4,00\\hline [\mathrm{SO_2Cl_2}]\\ (\mathrm{mol/L}) & 1,200 & 1,109 & 1,024 & 0,946 & 0,874 \end{array}
As perguntas que vou responder são exatamente:
(a) Qual a ordem da reação?
(b) Qual a constante de velocidade k a 320^\circ\mathrm{C}?
(c) Qual o tempo de meia‑vida t_{1/2}?

Passo 2

Vou usar o método gráfico: transformar os dados segundo as formas integradas das leis de velocidade para ordens diferentes e verificar qual transformação dá uma reta (linha) quando plotada contra o tempo. Aqui está a teoria básica (mastigada):
  • Para ordem zero: a lei integrada é
[A](t) = [A]_0 - kt.
Se a reação for de ordem zero, o gráfico de [A] versus t é uma reta com inclinação -k.
  • Para primeira ordem: a lei integrada é
\ln([A](t)) = \ln([A]_0) - kt.
Se for primeira ordem, o gráfico de \ln([A]) versus t é uma reta com inclinação -k.
  • Para segunda ordem (quando rate law é r=k[A]^2): a lei integrada é
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + kt.
Se for segunda ordem, o gráfico de 1/[A] versus t é uma reta com inclinação +k.
Método prático para a prova: calcular as três transformações dos dados ( [A], \ln[A], 1/[A] ) e checar qual delas tem diferenças de razão/declive aproximadamente constantes — essa será a correta. Aqui vou calcular explicitamente \ln([A]) e também checar os declives para confirmar linearidade.

Passo 3

Calculo dos logaritmos naturais dos valores de concentração (usei os valores da tabela):
\begin{array}{c|ccccc} t\\ (\mathrm{h}) & 0,00 & 1,00 & 2,00 & 3,00 & 4,00 \\hline [A]\\ (\mathrm{mol/L}) & 1,200 & 1,109 & 1,024 & 0,946 & 0,874 \\\ \ln([A]) & 0,18232 & 0,10343 & 0,02371 & -0,05551 & -0,13467 \end{array}
(Expliquei como calculei os \ln em pensamento: usei a expansão \ln(1+x) para pequenos x e verifiquei coerência; na prova você pode calcular com calculadora ou usar diferenças entre pontos para obter o declive.)

Passo 4

Agora calculo os declives (são as variações de \ln([A]) por hora) entre pontos consecutivos — se forem aproximadamente constantes, indica primeira ordem:
\begin{aligned} \text{declive}_{0\to1} &= \frac{0,10343-0,18232}{1{,}00-0{,}00} = -0,07889\\ \mathrm{h}^{-1},\\\ \text{declive}_{1\to2} &= \frac{0,02371-0,10343}{1{,}00} = -0,07972\\ \mathrm{h}^{-1},\\\ \text{declive}_{2\to3} &= \frac{-0,05551-0,02371}{1{,}00} = -0,07922\\ \mathrm{h}^{-1},\\\ \text{declive}_{3\to4} &= \frac{-0,13467-(-0,05551)}{1{,}00} = -0,07916\\ \mathrm{h}^{-1}. \end{aligned}
Observe que os quatro declives são muito próximos entre si (todos em torno de -0,0792\\ \mathrm{h}^{-1}). Isso é um forte sinal de que o gráfico \ln([A]) versus t é uma reta — ou seja, a reação é de primeira ordem.
Como verificação alternativa: o declive calculado usando o primeiro e o último ponto dá
\text{declive}_{0\to4}=\frac{-0,13467-0,18232}{4{,}00-0{,}00}=\frac{-0,31699}{4{,}00}=-0,0792475\\ \mathrm{h}^{-1},
igual (dentro do arredondamento) à média dos declives anteriores.

Passo 5

Conclusão sobre a ordem (explicando o porquê como se eu estivesse num vestibular): como \ln([A]) versus t dá uma reta com declive praticamente constante, a lei integrada que se ajusta é a da primeira ordem. Portanto a reação é de primeira ordem.

Passo 6

Cálculo da constante de velocidade k. Para primeira ordem, sabemos que
\ln([A]) = \ln([A]_0) - kt,
logo o declive da reta \ln([A]) versus t é -k. Usando o declive médio (ou o declive entre t=0 e t=4):
k = -\text{declive} = -(-0,0792475)\\ \mathrm{h}^{-1} = 0,07925\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando para 3 algarismos significativos fica k \approx 0,0792\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 7

Cálculo do tempo de meia‑vida para primeira ordem. A fórmula da meia‑vida na primeira ordem é independente da concentração inicial e é dada por
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Substituindo \ln 2 \approx 0,69315 e k=0,0792475\\ \mathrm{h}^{-1}:
t_{1/2} = \frac{0,69315}{0,0792475}\\ \mathrm{h} \approx 8,75\\ \mathrm{h}.
(Se você quiser, pode arredondar para duas casas decimais como eu fiz: 8,75\\ \mathrm{h}.)

Resposta

(a) Primeira ordem
(b) k = 0,0792\\ \mathrm{h}^{-1}
(c) t_{1/2} = 8,75\\ \mathrm{h}

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