A decomposição do pentóxido de dinitrogênio ocorre através da reação:
e é de primeira ordem em relação ao
. Foi determinado experimentalmente que a decomposição é
completa após
a 300 K . Calcule a constante de velocidade e o tempo que a concentração é metade da inicial em
Passo 1
O enunciado dá a reação e diz que a velocidade é de primeira ordem em relação a
. Os dados relevantes são:
Isso significa que a fração remanescente de
após
é
. O que pedem:
- a constante de velocidade
(unidade compatível com horas), - o tempo em que a concentração fica metade da inicial (ou seja, a meia-vida
).
Passo 2
Vamos usar a lei integrada da cinética de primeira ordem. A equação diferencial que descreve uma reação de primeira ordem é
onde
é a concentração do reagente (
),
é o tempo e
é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}). Para resolver, separamos variáveis e integramos:
A integral do lado esquerdo dá um logaritmo natural, e a do direito dá
. Assim obtemos a forma integrada
Essa fórmula relaciona a razão das concentrações com
e
. Aqui
é a concentração inicial e
é a concentração no tempo
.
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula ao dado experimental. Sabemos que em
restam
vezes a concentração inicial, ou seja
. Substituindo em
temos
Calculamos
. Lembrete:
é negativo, porque
. Numericamente,
Logo
Dividindo ambos os lados por
(o sinal negativo some), obtemos
Passo 4
Fazendo a divisão:
Arredondando de forma apropriada (dados com duas ou três algarismos significativos), podemos escrever
Interpretação: isso significa que a taxa proporcional é cerca de
por hora no sentido da constante de primeira ordem.
Passo 5
Agora calculamos a meia-vida para uma reação de primeira ordem. Para primeira ordem a meia-vida é independente da concentração inicial e é dada por
onde
. Substituindo o valor de
:
Passo 6
Fazendo a divisão:
Arredondando adequadamente:
Resumo numérico:
cerca de
e meia-vida cerca de
. Tá tudo certo — você conseguiu! Se quiser, eu converto
para
também.