A decomposição do pentóxido de dinitrogênio ocorre através da reação:
2 \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{5}(\mathrm{~g}) \rightarrow 4 \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})
e é de primeira ordem em relação ao \left[{ }_{2} \mathrm{O}_{5}(g)\right]. Foi determinado experimentalmente que a decomposição é 20 \% completa após 6,0 \mathrm{~h} a 300 K . Calcule a constante de velocidade e o tempo que a concentração é metade da inicial em
\left[\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}(\mathrm{~g})\right] .

Passo 1

O enunciado dá a reação e diz que a velocidade é de primeira ordem em relação a \left[\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}\right]. Os dados relevantes são:
\text{A decomposição está }20\%\text{ completa em }6{,}0\\ \mathrm{h}.çãá
Isso significa que a fração remanescente de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} após 6{,}0\\ \mathrm{h} é 1-0{,}20=0{,}80. O que pedem:
  • a constante de velocidade k (unidade compatível com horas),
  • o tempo em que a concentração fica metade da inicial (ou seja, a meia-vida t_{1/2}).

Passo 2

Vamos usar a lei integrada da cinética de primeira ordem. A equação diferencial que descreve uma reação de primeira ordem é
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração do reagente ( [A]=[\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}]), t é o tempo e k é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}). Para resolver, separamos variáveis e integramos:
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá um logaritmo natural, e a do direito dá -kt. Assim obtemos a forma integrada
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t.
Essa fórmula relaciona a razão das concentrações com k e t. Aqui [A]_0 é a concentração inicial e [A]_t é a concentração no tempo t.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula ao dado experimental. Sabemos que em t=6{,}0\\ \mathrm{h} restam 0{,}80 vezes a concentração inicial, ou seja [A]_t/[A]_0=0{,}80. Substituindo em
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t,
temos
\ln(0{,}80) = -k\cdot 6{,}0.
Calculamos \ln(0{,}80). Lembrete: \ln(0{,}80) é negativo, porque 0{,}80<1. Numericamente,
\ln(0{,}80) \approx -0{,}223143.
Logo
-0{,}223143 = -k\cdot 6{,}0.
Dividindo ambos os lados por -6{,}0 (o sinal negativo some), obtemos
k = \frac{0{,}223143}{6{,}0}.

Passo 4

Fazendo a divisão:
k \approx 0{,}0371905\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando de forma apropriada (dados com duas ou três algarismos significativos), podemos escrever
k \approx 3{,}72\times 10^{-2}\\ \mathrm{h}^{-1}.
Interpretação: isso significa que a taxa proporcional é cerca de 3{,}72\% por hora no sentido da constante de primeira ordem.

Passo 5

Agora calculamos a meia-vida para uma reação de primeira ordem. Para primeira ordem a meia-vida é independente da concentração inicial e é dada por
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
onde \ln 2\approx 0{,}693147. Substituindo o valor de k:
t_{1/2} = \frac{0{,}693147}{0{,}0371905}.

Passo 6

Fazendo a divisão:
t_{1/2} \approx 18{,}64\\ \mathrm{h}.
Arredondando adequadamente:
t_{1/2} \approx 18{,}6\\ \mathrm{h}.
Resumo numérico: k cerca de 3{,}72\times 10^{-2}\\ \mathrm{h}^{-1} e meia-vida cerca de 18{,}6\\ \mathrm{h}. Tá tudo certo — você conseguiu! Se quiser, eu converto k para \mathrm{s}^{-1} também.

Resposta

k = 3{,}72\times 10^{-2}\\ \mathrm{h}^{-1}
t_{1/2} = 18{,}6\\ \mathrm{h}

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