Um aço tem o módulo de elasticidade de 207 GPa e um alumínio tem módulo de elasticidade de 70 GPa . O que significam esses dados?

Passo 1

O enunciado dá duas informações numéricas e pergunta o que elas significam. As informações são:
\;E_{\text{aço}}=207\\ \text{GPa}ç
\;E_{\text{alumínio}}=70\\ \text{GPa}í.
A pergunta é: o que representam esses valores e qual é o significado prático deles?

Passo 2

Definição do que é o número dado: esses valores são o módulo de elasticidade (também chamado de módulo de Young) de cada material. Vou explicar passo a passo o que é isso, com as fórmulas usadas em provas. A relação fundamental na elasticidade linear é a Lei de Hooke para tração/ compressão:
\(\sigma = E\,\varepsilon\)
Aqui:
\sigma é a tensão (stress), medida em \text{Pa} (Pascal) ou \text{N}/\text{m}^{2}, e representa a força por unidade de área.
\varepsilon é a deformação (strain), adimensional, definida como a variação relativa de comprimento \varepsilon=\Delta L/L.
E é o módulo de Young (o dado do enunciado), cuja unidade é \text{Pa} (normalmente indicado em \text{GPa} para metais).

Passo 3

Explicando \sigma e \varepsilon com mais calma, como você precisa na prova:
A tensão é calculada por
\(\sigma=\dfrac{F}{A}\),
onde \;F é a força axial em \text{N} e \;A é a área da seção transversal em \text{m}^{2}.
A deformação é
\(\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}\),
onde \;L é o comprimento inicial e \;\Delta L é a mudança de comprimento. A Lei de Hooke dá que, enquanto o material está no regime elástico linear, a tensão e a deformação são proporcionais, com constante de proporcionalidade E.

Passo 4

Unidades e conversão rápida (útil em prova): \;1\\ \text{GPa}=10^{9}\\ \text{Pa}. Assim,
\;E_{\text{aço}}=207\times 10^{9}\\ \text{Pa}ç e \;E_{\text{alumínio}}=70\times 10^{9}\\ \text{Pa}í.

Passo 5

Interpretação física simples e comparativa: um E maior significa que o material é “mais rígido” — ou seja, sob a mesma tensão \sigma ele sofrerá menor deformação \varepsilon. Se aplicarmos exatamente a mesma tensão a aço e alumínio, as deformações satisfazem
\(\dfrac{\varepsilon_{\text{al}}}{\varepsilon_{\text{aço}}}=\dfrac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{al}}}=\dfrac{207}{70}\approx 2{,}96\).
Isto significa que, sob a mesma tensão, o alumínio se alonga cerca de \;2{,}96 vezes mais que o aço.

Passo 6

Exemplo numérico didático (faça igual na prova): suponha uma tensão \sigma=100\\ \text{MPa} aplicada em ambos os materiais. Primeiro converta \text{MPa} para \text{Pa}: \;100\\ \text{MPa}=100\times 10^{6}\\ \text{Pa}.
A deformação é \varepsilon=\sigma/E. Para o aço:
\(\varepsilon_{\text{aço}}=\dfrac{100\times 10^{6}}{207\times 10^{9}}=4{,}83\times 10^{-4}\).
Para o alumínio:
\(\varepsilon_{\text{al}}=\dfrac{100\times 10^{6}}{70\times 10^{9}}=1{,}429\times 10^{-3}\).
Em porcentagem, isso dá aproximadamente \;0{,}0483\% para o aço e \;0{,}1429\% para o alumínio — ou seja, o alumínio deforma quase três vezes mais.

Passo 7

Outro exemplo prático: barra de comprimento \;L=1\\ \text{m} e área \;A=1{,}0\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2} (10 mm²) sujeita a uma força \;F=10{,}000\\ \text{N}.
Calcule a elongação \Delta L usando
\(\Delta L=\dfrac{F\,L}{A\,E}\).
Para o aço:
A\,E=1{,}0\times 10^{-4}\times 207\times 10^{9}=2{,}07\times 10^{7},
\(\Delta L_{\text{aço}}=\dfrac{10{,}000\times 1}{2{,}07\times 10^{7}}=4{,}83\times 10^{-4}\\ \text{m}=0{,}483\\ \text{mm}\).
Para o alumínio:
A\,E=1{,}0\times 10^{-4}\times 70\times 10^{9}=7{,}0\times 10^{6},
\(\Delta L_{\text{al}}=\dfrac{10{,}000}{7{,}0\times 10^{6}}=1{,}429\times 10^{-3}\\ \text{m}=1{,}429\\ \text{mm}\).
Conclusão prática: com a mesma força e geometria, o alumínio alonga cerca de \;1{,}429/0{,}483\approx 2{,}96 vezes mais.

Passo 8

Observações importantes para a prova (e para você não confundir na hora):
  • E indica rigidez elástica, não resistência última ou limite de escoamento. Um material pode ter E alto e ainda quebrar cedo se sua resistência à tração for baixa.
  • Em flexão, o papel de E aparece em \;EI (onde I é o momento de inércia), então E também controla a rigidez à flexão.
  • Valores típicos para metais: aço ~ \;200\\ \text{GPa}, alumínio ~ \;69\text{–}70\\ \text{GPa}. Esses números do enunciado são consistentes com tabelas de engenharia.

Resposta

São os módulos de elasticidade (módulos de Young) dos materiais: \;E_{\text{aço}}=207\\ \text{GPa}ç e \;E_{\text{alumínio}}=70\\ \text{GPa}í. Isso significa que o aço é cerca de \;2{,}96 vezes mais rígido que o alumínio — sob a mesma tensão o alumínio deforma aproximadamente \;2{,}96 vezes mais.

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