Uma indústria cerâmica de refratários magnesianos realiza moagem a úmido da sua principal matéria-prima ( MgO ) usando moinho rotatório com diâmetro interno de 40 cm e comprimento de 80 cm e com
em volume ocupado com bolas de
, calcular:
a) A massa (em Kg ) e tamanho das bolas para preencher 50% em volume do moinho,
b) Volume da barbotina de MgO .
a) A massa (em Kg ) e tamanho das bolas para preencher 50% em volume do moinho,
b) Volume da barbotina de MgO .
Passo 1
O enunciado dá um moinho rotatório interno com diâmetro interno
e comprimento
, e diz que
do volume interno é ocupado por bolas de
. Pede:
- (a) a massa (em
) e o “tamanho das bolas” para preencher do volume do moinho; - (b) o volume da barbotina de MgO (isto é, o volume ocupado pelo líquido/lodo dentro do moinho).
Informações relevantes dadas:
- Diâmetro interno do moinho:
. - Comprimento interno do moinho:
. - Fração de volume ocupada por bolas:
do volume interno. - Material das bolas:
(não foi dada a densidade no enunciado).
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não especifica o que exatamente quer dizer por “tamanho das bolas” (diâmetro de cada bola? volume total ocupado pelas bolas?). Vou interpretar “tamanho das bolas” como o volume total ocupado pelas bolas (já que o enunciado dá a fração de volume). Se a intenção fosse o diâmetro de cada esfera, precisaria informar o número de bolas ou a estratégia de empacotamento — sem isso não é possível determinar um diâmetro único. Vou explicar isso detalhadamente adiante.
Passo 2
Calcular o volume interno do moinho (cilindro). A fórmula do volume de um cilindro é:
onde
é o raio interno do cilindro e
é o comprimento (altura) do cilindro. Aqui:
Substituindo:
Agora o valor numérico (aproximação):
Arredondando de forma razoável:
Explicação didática curta: convertemos centímetros para metros porque a densidade que usaremos para massa estará em
; trabalhar todas as unidades no SI evita erros.
Passo 3
Volume ocupado pelas bolas (que corresponde a
do volume do cilindro):
Em litros:
Didática: quando o enunciado diz “50% em volume ocupado com bolas”, interpretei literalmente como metade do volume interno do cilindro sendo volume sólido das bolas (ou seja, soma dos volumes das esferas). Em problemas reais há também espaços vazios entre esferas e entre esferas e parede; neste enunciado foi dado diretamente a fração de volume ocupada pelas bolas, então usamos esse valor.
Passo 4
Para calcular massa é preciso a densidade de
. Como o enunciado não deu densidade, vou usar um valor típico de referência para alumina densa:
Explicação didática: densidade diz quantos quilogramas cabem em cada metro cúbico do material;
.
Cálculo da massa total das bolas:
Se preferir arredondar para números práticos,
.
Didática: se você tiver outra densidade (por exemplo ), basta multiplicar
por essa densidade em
.
Didática: se você tiver outra densidade (por exemplo
Passo 5
Comentário sobre “tamanho das bolas”: se por “tamanho” o professor quiser o diâmetro de cada bola, não é possível determinar esse diâmetro apenas com as informações dadas. Para achar o diâmetro das bolas seria preciso saber:
- o número de bolas (quantas esferas) OU
- a distribuição de tamanhos (se bolas são de tamanhos diferentes) OU
- uma regra de empacotamento que relacione o volume total sólido com o número e diâmetro das esferas.
Sem essas informações, o único “tamanho” bem definido a partir do enunciado é o volume total ocupado pelas bolas, que já calculamos em
. Por isso adotei esta interpretação.
Didática extra (se for útil na prova): se o professor te pedir para calcular um diâmetro hipotético de uma única esfera que tivesse o mesmo volume que todas as bolas juntas, você poderia usar a fórmula da esfera
resolver para
e obter um diâmetro; mas isso daria uma esfera gigantesca (maior que o próprio moinho), então não representaria as bolas reais — é só uma construção matemática.
Passo 6
Volume da barbotina de MgO: como
do volume interno está ocupado por bolas, o restante
é o volume disponível para a barbotina (assumindo que não há outros sólidos volumosos). Logo:
Em litros:
Didática: o volume da barbotina é exatamente igual ao volume das bolas porque os dois são
do volume total, portanto numericamente iguais aqui.
Passo 7
Resumo final dos valores calculados (com unidades e arredondamento razoável):
- Volume interno do moinho:
(≈ ). - Volume total ocupado pelas bolas:
(≈ ). - Massa total das bolas (usando
): . - Volume da barbotina de MgO:
(≈ ).
Resposta
(a) Massa das bolas:
; Volume total das bolas:
(≈
).
(b) Volume da barbotina de MgO: (≈
).
(b) Volume da barbotina de MgO: