Uma indústria cerâmica de refratários magnesianos realiza moagem a úmido da sua principal matéria-prima ( MgO ) usando moinho rotatório com diâmetro interno de 40 cm e comprimento de 80 cm e com 50 \% em volume ocupado com bolas de \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}, calcular:
a) A massa (em Kg ) e tamanho das bolas para preencher 50% em volume do moinho,
b) Volume da barbotina de MgO .

Passo 1

O enunciado dá um moinho rotatório interno com diâmetro interno 40\\ \text{cm} e comprimento 80\\ \text{cm}, e diz que 50\% do volume interno é ocupado por bolas de \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3. Pede:
  • (a) a massa (em \text{kg}) e o “tamanho das bolas” para preencher 50\% do volume do moinho;
  • (b) o volume da barbotina de MgO (isto é, o volume ocupado pelo líquido/lodo dentro do moinho).
Informações relevantes dadas:
  • Diâmetro interno do moinho: D=40\\ \text{cm}.
  • Comprimento interno do moinho: L=80\\ \text{cm}.
  • Fração de volume ocupada por bolas: 50\% do volume interno.
  • Material das bolas: \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3 (não foi dada a densidade no enunciado).
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não especifica o que exatamente quer dizer por “tamanho das bolas” (diâmetro de cada bola? volume total ocupado pelas bolas?). Vou interpretar “tamanho das bolas” como o volume total ocupado pelas bolas (já que o enunciado dá a fração de volume). Se a intenção fosse o diâmetro de cada esfera, precisaria informar o número de bolas ou a estratégia de empacotamento — sem isso não é possível determinar um diâmetro único. Vou explicar isso detalhadamente adiante.

Passo 2

Calcular o volume interno do moinho (cilindro). A fórmula do volume de um cilindro é:
V_{\text{cil}}=\pi r^{2} h,
onde r é o raio interno do cilindro e h é o comprimento (altura) do cilindro. Aqui:
D=40\\ \text{cm}=0,40\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{D}{2}=0,20\\ \text{m},
h=L=80\\ \text{cm}=0,80\\ \text{m}.
Substituindo:
V_{\text{cil}}=\pi (0,20)^{2}(0,80)=\pi\cdot 0,04\cdot 0,80=\pi\cdot 0,032=0,032\pi\\ \text{m}^{3}.
Agora o valor numérico (aproximação):
V_{\text{cil}}\approx 0,032\cdot 3,14159265\approx 0,1005309649\\ \text{m}^{3}.
Arredondando de forma razoável:
V_{\text{cil}}\approx 0,10053\\ \text{m}^{3}\quad(\text{aprox. }100,53\\ \text{L}).
Explicação didática curta: convertemos centímetros para metros porque a densidade que usaremos para massa estará em \text{kg/m}^3; trabalhar todas as unidades no SI evita erros.

Passo 3

Volume ocupado pelas bolas (que corresponde a 50\% do volume do cilindro):
V_{\text{bolas}}=0{,}5\cdot V_{\text{cil}}=0{,}5\cdot 0{,}10053\\ \text{m}^{3}\approx 0{,}050265\\ \text{m}^{3}.
Em litros:
V_{\text{bolas}}\approx 50{,}265\\ \text{L}.
Didática: quando o enunciado diz “50% em volume ocupado com bolas”, interpretei literalmente como metade do volume interno do cilindro sendo volume sólido das bolas (ou seja, soma dos volumes das esferas). Em problemas reais há também espaços vazios entre esferas e entre esferas e parede; neste enunciado foi dado diretamente a fração de volume ocupada pelas bolas, então usamos esse valor.

Passo 4

Para calcular massa é preciso a densidade de \mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3. Como o enunciado não deu densidade, vou usar um valor típico de referência para alumina densa:
\rho_{\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3}\approx 3{,}95\\ \text{g/cm}^{3}=3950\\ \text{kg/m}^{3}.
Explicação didática: densidade diz quantos quilogramas cabem em cada metro cúbico do material; 1\\ \text{g/cm}^3=1000\\ \text{kg/m}^3.
Cálculo da massa total das bolas:
m_{\text{bolas}}=\rho_{\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3}\cdot V_{\text{bolas}}=3950\\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 0{,}050265\\ \text{m}^3.
m_{\text{bolas}}\approx 3950\cdot 0{,}050265\approx 198{,}54\\ \text{kg}.
Se preferir arredondar para números práticos, m_{\text{bolas}}\approx 199\\ \text{kg}.
Didática: se você tiver outra densidade (por exemplo 3{,}90\\ \text{g/cm}^3), basta multiplicar V_{\text{bolas}} por essa densidade em \text{kg/m}^3.

Passo 5

Comentário sobre “tamanho das bolas”: se por “tamanho” o professor quiser o diâmetro de cada bola, não é possível determinar esse diâmetro apenas com as informações dadas. Para achar o diâmetro das bolas seria preciso saber:
  • o número de bolas (quantas esferas) OU
  • a distribuição de tamanhos (se bolas são de tamanhos diferentes) OU
  • uma regra de empacotamento que relacione o volume total sólido com o número e diâmetro das esferas.
Sem essas informações, o único “tamanho” bem definido a partir do enunciado é o volume total ocupado pelas bolas, que já calculamos em V_{\text{bolas}}=0{,}050265\\ \text{m}^3. Por isso adotei esta interpretação.
Didática extra (se for útil na prova): se o professor te pedir para calcular um diâmetro hipotético de uma única esfera que tivesse o mesmo volume que todas as bolas juntas, você poderia usar a fórmula da esfera
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
resolver para r e obter um diâmetro; mas isso daria uma esfera gigantesca (maior que o próprio moinho), então não representaria as bolas reais — é só uma construção matemática.

Passo 6

Volume da barbotina de MgO: como 50\% do volume interno está ocupado por bolas, o restante 50\% é o volume disponível para a barbotina (assumindo que não há outros sólidos volumosos). Logo:
V_{\text{barbotina}}=V_{\text{cil}}-V_{\text{bolas}}=0{,}10053-0{,}050265=0{,}050265\\ \text{m}^{3}.
Em litros:
V_{\text{barbotina}}\approx 50{,}265\\ \text{L}.
Didática: o volume da barbotina é exatamente igual ao volume das bolas porque os dois são 50\% do volume total, portanto numericamente iguais aqui.

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (com unidades e arredondamento razoável):
  • Volume interno do moinho: V_{\text{cil}}\approx 0{,}10053\\ \text{m}^3 (≈ 100{,}53\\ \text{L}).
  • Volume total ocupado pelas bolas: V_{\text{bolas}}\approx 0{,}050265\\ \text{m}^3 (≈ 50{,}265\\ \text{L}).
  • Massa total das bolas (usando \rho=3950\\ \text{kg/m}^3): m_{\text{bolas}}\approx 198{,}54\\ \text{kg}.
  • Volume da barbotina de MgO: V_{\text{barbotina}}\approx 0{,}050265\\ \text{m}^3 (≈ 50{,}265\\ \text{L}).

Resposta

(a) Massa das bolas: 198{,}54\\ \text{kg}; Volume total das bolas: 0{,}050265\\ \text{m}^{3} (≈ 50{,}265\\ \text{L}).
(b) Volume da barbotina de MgO: 0{,}050265\\ \text{m}^{3} (≈ 50{,}265\\ \text{L}).

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