A decomposição do peróxido de hidrogênio (água oxigenada) segue a reação
Ao longo de 12 horas de experimento, deixou-se 1 grama de
decompor e a quantidade (em gramas) de peróxido presente foi medida a cada hora, conforme tabela abaixo.
Tempo (h)
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
Massa
0.80
0.63
0.50
0.40
0.28
0.25
0.19
0.15
0.11
0.09
0.08
0.06
(a) Utilize seu programa favorito para fazer um gráfico desses pontos, com o tempo no eixo horizontal e a quantidade de peróxido no eixo vertical. Uma reta parece uma função adequada para ajustar esses dados?
(b) Tente ajustar uma reta do tipo
a esses dados. Calcule
, ou seja, a quantidade de peróxido após um dia de reação segundo esse modelo. Esse resultado é razoável? Por quê?
(c) Tente ajustar uma parábola do tipo
a esses dados. Calcule
. Esse resultado é razoável? Por quê?
(d) Esta reação na verdade segue um modelo exponencial:
, onde
é a massa inicial do reagente e
é a chamada taxa de reação. A taxa de reação
claramente não é um coeficiente numa combinação linear de funções. Portanto, linearize a expressão, tomando o logaritmo natural de ambos os lados para obter
.
(e) Utilize a função linearizada no item anterior para ajustar a taxa de reação
. Lembre-se que agora você deve tomar o logaritmo dos valores na segunda linha da tabela. Atenção: cuidado para não confundir a BASE DOS LOGARITMOS AO FAZER A CONTA NA CALCULADORA OU NO COMPUTADOR. LEIA AS INSTRUÇÕES PARA GARANTIR QUE ESTÁ TOMANDO O LOGARITMO NATURAL E NÃO NA BASE 10.
(f) Aplique o valor da constante
obtida no item anterior na função
do modelo exponencial para obter a quantidade de peróxido após 24h:
. Esse valor parece mais razoável que os obtidos com os demais modelos?
Tempo (h) | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 | 9.0 | 10.0 | 11.0 | 12.0 |
Massa
|
0.80 | 0.63 | 0.50 | 0.40 | 0.28 | 0.25 | 0.19 | 0.15 | 0.11 | 0.09 | 0.08 | 0.06 |
(b) Tente ajustar uma reta do tipo
(c) Tente ajustar uma parábola do tipo
(d) Esta reação na verdade segue um modelo exponencial:
(e) Utilize a função linearizada no item anterior para ajustar a taxa de reação
(f) Aplique o valor da constante
Passo 1
O enunciado apresenta a decomposição de
com massa inicial
g e mede, em cada hora de
até
, a massa remanescente (veja a tabela). Precisamos:
– (a) graficar esses pontos e avaliar se uma reta ajusta bem;
– (b) ajustar por mínimos quadrados uma reta , calcular
e discutir;
– (c) ajustar por mínimos quadrados uma parábola , calcular
e discutir;
– (d) linearizar o modelo exponencial via
;
– (e) usar regressão linear em versus
para obter
e
;
– (f) calcular e verificar se é mais razoável.
– (a) graficar esses pontos e avaliar se uma reta ajusta bem;
– (b) ajustar por mínimos quadrados uma reta
– (c) ajustar por mínimos quadrados uma parábola
– (d) linearizar o modelo exponencial
– (e) usar regressão linear em
– (f) calcular
Passo 2
(a) Ao plotar em um gráfico
no eixo horizontal e massa de
no vertical, nota-se uma curva de decaimento que se torna cada vez mais suave, não alinhando bem em reta. Portanto, uma reta não é modelo adequado, pois sobra curvatura nos resíduos (erros sistemáticos).
Passo 3
(b) Aplicando mínimos quadrados à forma
sobre os
pontos, obtém-se
ou seja
Logo
Esse valor é impossível (massa negativa), então o ajuste linear falha para extrapolar até
h.
Passo 4
(c) Fazendo mínima quadrados para
, calculamos
isto é
Daí
Esse valor ultrapassa a massa inicial, o que não faz sentido num processo de decomposição, logo o modelo quadrático também falha em extrapolar.
Passo 5
(d) Para o modelo exponencial
, tomamos ln dos dois lados para obter
uma relação linear em
com coeficiente angular
e intercepto
.
Passo 6
(e) Calculando
das massas e aplicando mínimos quadrados a
, obtemos
Como
e
, temos
Isso confirma
g como esperado.
Passo 7
(f) Usando
, calcula-se
Esse valor é pequeno e positivo, condizente com quase total decomposição após
h, portanto mais razoável que os obtidos pelos ajustes polinomiais.
Resposta
(a) O gráfico mostra curva de decaimento; reta não é adequada.
(b) ,
g (não razoável).
(c) ,
g (não razoável).
(d) .
(e) , g.
(f) g, valor plausível.
(b)
(c)
(d)
(e) ,
(f)