A decomposição do peróxido de hidrogênio (água oxigenada) segue a reação
2 H2 O2 longrightarrow 2 H2 O+O2
Ao longo de 12 horas de experimento, deixou-se 1 grama de H2 O2 decompor e a quantidade (em gramas) de peróxido presente foi medida a cada hora, conforme tabela abaixo.
Tempo (h) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
Massa l|cccccccccccc Tempo (h) & 1.0 & 2.0 & 3.0 & 4.0 & 5.0 & 6.0 & 7.0 & 8.0 & 9.0 & 10.0 & 11.0 & 12.0 hline Massa $H2 O2(g)$ & 0.80 & 0.63 & 0.50 & 0.40 & 0.28 & 0.25 & 0.19 & 0.15 & 0.11 & 0.09 & 0.08 & 0.06 0.80 0.63 0.50 0.40 0.28 0.25 0.19 0.15 0.11 0.09 0.08 0.06
(a) Utilize seu programa favorito para fazer um gráfico desses pontos, com o tempo no eixo horizontal e a quantidade de peróxido no eixo vertical. Uma reta parece uma função adequada para ajustar esses dados?
(b) Tente ajustar uma reta do tipo f(t)=a t+b a esses dados. Calcule f(24), ou seja, a quantidade de peróxido após um dia de reação segundo esse modelo. Esse resultado é razoável? Por quê?
(c) Tente ajustar uma parábola do tipo g(t)=a t^2+b t+c a esses dados. Calcule g(24). Esse resultado é razoável? Por quê?
(d) Esta reação na verdade segue um modelo exponencial: h(t)=A e^-k t, onde A é a massa inicial do reagente e k é a chamada taxa de reação. A taxa de reação k claramente não é um coeficiente numa combinação linear de funções. Portanto, linearize a expressão, tomando o logaritmo natural de ambos os lados para obter ln (h(t))=ln A-k t.
(e) Utilize a função linearizada no item anterior para ajustar a taxa de reação k. Lembre-se que agora você deve tomar o logaritmo dos valores na segunda linha da tabela. Atenção: cuidado para não confundir a BASE DOS LOGARITMOS AO FAZER A CONTA NA CALCULADORA OU NO COMPUTADOR. LEIA AS INSTRUÇÕES PARA GARANTIR QUE ESTÁ TOMANDO O LOGARITMO NATURAL E NÃO NA BASE 10.
(f) Aplique o valor da constante k obtida no item anterior na função h(t) do modelo exponencial para obter a quantidade de peróxido após 24h: h(24). Esse valor parece mais razoável que os obtidos com os demais modelos?

Passo 1

O enunciado apresenta a decomposição de H2O2 com massa inicial 1,0 g e mede, em cada hora de t=1 até t=12, a massa remanescente (veja a tabela). Precisamos:
– (a) graficar esses pontos e avaliar se uma reta ajusta bem;
– (b) ajustar por mínimos quadrados uma reta f(t)=a,t+b, calcular f(24) e discutir;
– (c) ajustar por mínimos quadrados uma parábola g(t)=a,t^2+b,t+c, calcular g(24) e discutir;
– (d) linearizar o modelo exponencial h(t)=A e^-k t via ln(h)=ln A - k t;
– (e) usar regressão linear em lnl(massar) versus t para obter k e A;
– (f) calcular h(24) e verificar se é mais razoável.

Passo 2

(a) Ao plotar em um gráfico t no eixo horizontal e massa de H2O2 no vertical, nota-se uma curva de decaimento que se torna cada vez mais suave, não alinhando bem em reta. Portanto, uma reta não é modelo adequado, pois sobra curvatura nos resíduos (erros sistemáticos).

Passo 3

(b) Aplicando mínimos quadrados à forma f(t)=a,t+b sobre os 12 pontos, obtém-se
a approx -0,0625, bapprox 0,701,
ou seja
f(t) = -0,0625,t + 0,701
Logo
f(24) = -0,0625cdot24 + 0,701 approx -0,80 g
Esse valor é impossível (massa negativa), então o ajuste linear falha para extrapolar até 24 h.

Passo 4

(c) Fazendo mínima quadrados para g(t)=a,t^2 + b,t + c, calculamos
aapprox 0,00669, bapprox -0,136, capprox 0,817,
isto é
g(t)=0,00669,t^2 -0,136,t +0,817
Daí
g(24)=0,00669cdot24^2 -0,136cdot24 +0,817approx 1,41 g
Esse valor ultrapassa a massa inicial, o que não faz sentido num processo de decomposição, logo o modelo quadrático também falha em extrapolar.

Passo 5

(d) Para o modelo exponencial h(t)=A e^-k t, tomamos ln dos dois lados para obter
lnl(h(t)r)=ln A - k,t,
uma relação linear em t com coeficiente angular -k e intercepto ln A.

Passo 6

(e) Calculando ln das massas e aplicando mínimos quadrados a ln(massa)=m,t + b, obtemos
mapprox -0,2366, bapprox -9,2times10^-4
Como m=-k e b=ln A, temos
kapprox 0,2366 h^-1, Aapprox e^-0,00092approx 0,9991 g
Isso confirma Aapprox1,0 g como esperado.

Passo 7

(f) Usando h(t)=0,9991,e^-0,2366,t, calcula-se
h(24)=0,9991,e^-0,2366cdot24approx0,0034 g
Esse valor é pequeno e positivo, condizente com quase total decomposição após 24 h, portanto mais razoável que os obtidos pelos ajustes polinomiais.

Resposta

(a) O gráfico mostra curva de decaimento; reta não é adequada.
(b) , g (não razoável).
(c) , g (não razoável).
(d) .
(e) , g.
(f) g, valor plausível.

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